资料简介
专题八—数学存在性问题
中考透视：
随着新课程改革的不断深入，中考数学试题也不断推旧出新，“选拔性”和“能力性”
兼容，命题由“知识型”立意向“能力型”、“素质型”立意转变，题型设计思路开阔、内
容丰富、立意深刻、发人深省。存在性问题恰恰是这类试题中突出考查学生能力的典型代表，
由于这类试题大多以函数图象为载体，来研究事物的存在性，理解起来比较抽象，涉及面较
广，技能性和综合性也很强，解决起来有一定的难度，对知识的迁移能力，灵活运用能力和
分析问题的能力要求很高，所以几年来一直是全国各地中考数学的压轴题目。
存在性问题的内涵：
存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题,这类问题的知识覆盖面较
广,综合性较强,题意构思非常精巧,解题方法灵活,对学生分析问题和解决问题的能力要求
较高.存在性问题按定性可分为:肯定型和否定型.存在性问题在假设存在以后进行的推理或
计算,对基础知识,基本技能要求较高,并具备较强的探索性.正确、完整地解答这类问题,是
对我们知识、能力的一次全面的考验.
所谓存在性问题是指根据题目所给的条件，探究是否存在符合要求的结论，存在性问
题可抽象理解为“已知事项 M，是否存在具有某种性质的对象 Q”解题时要说明 Q 存在，通
常的方法是将对象 Q 构造出来；若要说明 Q 不存在，可先假设 Q 存在，然后由此出发进行推
论，并导致矛盾，从而否定 Q 的存在，此类问题的叙述通常是“是否存在……若存在，请求
出……（或证明），若不存在，请说明理由。
存在性问题的种类：
定性分类：
1.肯定型存在性问题；
2.否定型的存在性问题。
定量分类：
1.数值存在性问题；
2.定值存在性问题；
3.极值存在性问题；
4.点存在性问题；
5.直线存在性问题；
6.三角形存在性问题；
7.平行四边形存在性问题；
8.圆的存在性问题；
9.时间存在性问题；
10.位置存在性问题；
11.变化存在性问题；
12.关联存在性问题。
数学思想：
主要是： 数形结合思想、 分类讨论思想、 特殊到一般的思想
解题技巧：
1、从数到形： 根据点的坐标特征， 挖掘发现特殊角或线段比
2、从形到数： 找出特殊位置，分段分类讨论
思维模式：
顺向思维
逆向思维
两头架线 中间碰火的思维
【解题策略】 不同的存在性问题解法不同.下面按照解法及设问方式的不同将存在性
问题分为代数方面的存在性问题(如方程根是否存在、最值是否存在等)、点的存在性问题(如
构成特殊图形的点是否存在)并举例分析.
(1)代数方面的存在性问题的解法思路是:将问题看成求解题,进行求解,进而从有解或
无解的条件,来判明数学对象是否存在,这是解决此类问题的主要方法.
(2)点的存在性问题的解法思路是:假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结
果,就做出“存在”的判断;若导出矛盾,就做出不存在的判断.
类型一 代数方面的存在性问题
例 1 已知两条平行线 l1,l2 之间的距离为 6,截线 CD 分别交 l1,l2 于 C,D 两点,一直角的顶点
P 在线段 CD 上运动(点 P 不与点 C,D 重合),直角的两边分别交 l1,l2 与 A,B 两点.
(1)操作发现:
如图(1),过点 P 作直线 l3∥l1,作 PE⊥l1,点 E 是垂足,过点 B 作 BF⊥l3,点 F 是垂足.此
时,小明认为△PEA∽△PFB,你同意吗?为什么?
(2)猜想论证:
将直角∠APB 从图(1)的位置开始,绕点 P 顺时针旋转,在这一过程中,试观察、猜想:当
AE 满足什么条件时,以点 P,A,B 为顶点的三角形是等腰三角形?在图(2)中画出图形,证明你
的猜想.
(3)延伸探究:
在(2)的条件下,当截线 CD 与直线 l1 所夹的钝角为 150°时,设 CP=x.试探究,是否存在
实数 x,使△PAB 的边 AB 的长为 4 ?请说明理由.
【全解】(1)如图(1),由题意,得∠EPA+∠APF=90°,∠FPB+∠APF=90°,
∴∠EPA=∠FPB.又∠PEA=∠PFB=90°,∴△PEA∽△PFB.
(2)如图(2),∵∠APB=90°,∴要使△PAB 为等腰三角形,只能是 PA=PB.
当 AE=BF 时,PA=PB,∵∠EPA=∠FPB,∠PEA=∠PFB=90°,AE=BF,∴△PEA≌△PFB.∴PA=PB.
(3)如图(2),在 Rt△PEC 中,CP=x,∠PCE=30°,
整理,得 x2-12x-8=0,解得 x=6-2 6+6=12,且 CD=12,∴点 P 在 CD 的延长线上,这与点 P 在线段 CD 上运动相矛盾.
∴不合题意.综上,不存在满足条件的实数 x.
举一反三
1. (2016·山东烟台)如图,点 A(m,6),B(n,1)在反比例函数图象上,AD⊥x 轴于点 D,BC⊥x
轴于点 C,DC=5.
(1)求 m,n 的值并写出反比例函数的表达式;
(2)连接 AB,在线段 DC 上是否存在一点 E,使△ABE 的面积等于 5?若存在,求出点 E 的坐标;
若不存在,请说明理由.
(第 1 题)
(1)求 b 的值,求出点 P、点 B 的坐标;
(2)如图,在直线 y= x 上是否存在点 D,使四边形 OPBD 为平行四边形?若存在,求出点 D 的坐
标;若不存在,请说明理由;
(3)在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 M,使△AMP≌△AMB?如果存在,试举例验证你的猜想;
如果不存在,试说明理由.
(第 2 题)
【小结】 考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换(平移,对
称)、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称——最短路线问题等知识点,还考查了存在型问
题和分类讨论的数学思想,难度较大.
类型二 点的存在性问题
(1)直接写出 A,D,C 三点的坐标;
(2)若点 M 在抛物线上,使得△MAD 的面积与△CAD 的面积相等,求点 M 的坐标;
(3)设点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 B,在抛物线上是否存在点 P,使得以 A,B,C,P
四点为顶点的四边形为梯形?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)根据抛物线的对称性,可知在在 x 轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点;再根据三
角形的等面积法,在 x 轴上方,存在两个点,这两个点分别到 x 轴的距离等于点 C 到 x 轴的距
离;
(3)根据梯形定义确定点 P,如图所示:①若 BC∥AP1,确定梯形 ABCP1.此时 P1 与 D 点重合,
即可求得点 P1 的坐标;②若 AB∥CP2,确定梯形 ABCP2.先求出直线 CP2 的表达式,再联立抛物线
与直线表达式求出点 P2 的坐标.
(3)结论:存在.
如图所示,在抛物线上有两个点 P 满足题意:
①若 BC∥AP1,此时梯形为 ABCP1.
由点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 B,可知 BC∥x 轴,则点 P1 与点 D 重合,
∴P1(-2,0).∵P1A=6,BC=2,∴P1A≠BC.∴四边形 ABCP1 为梯形.
②若 AB∥CP2,此时梯形为 ABCP2.
∵点 A 坐标为(4,0),点 B 坐标为(2,-3),
化简得 x2-6x=0,解得 x1=0(舍去),x2=6,
∴点 P2 横坐标为 6,代入直线 CP2 表达式求得纵坐标为 6.∴P2(6,6).
∵AB∥CP2,AB≠CP2,∴四边形 ABCP2 为梯形.
综上所述,在抛物线上存在一点 P,使得以点 A,B,C,P 四点为顶点所构成的四边形为梯形;
点 P 的坐标为(-2,0)或(6,6).
举一反三
3. (2016·湖北十堰)已知抛物线 C1:y=a(x+1)2-2 的顶点为 A,且经过点 B(-2,-1).
(1)求 A 点的坐标和抛物线 C1 的表达式;
(2)如图(1),将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2,且抛物线 C2与直线AB相交于C,D
两点,求 S△OAC∶S△OAD 的值;
(3)如图(2),若过 P(-4,0),Q(0,2)的直线为 l,点 E 在(2)中抛物线 C2 对称轴右侧部分(含顶
点)运动,直线 m 过点 C 和点 E.问:是否存在直线 m,使直线 l,m 与 x 轴围成的三角形和直线
l,m 与 y 轴围成的三角形相似?若存在,求出直线 m 的表达式;若不存在,说明理由.
【小结】 根据以上分析,我们可以归纳出存在性问题的解决策略:(1)直接求解法:存在
性问题探索的结果有两种:一种是存在;另一种是不存在.直接求解法就是直接从已知条件入
手,逐步试探,求出满足条件的对象,使问题得到解决的解法.(2)假设求解法:先假设结论存
在,再从已知条件和定义,定理,公理出发,进行演绎推理,若得到和题意相容的结论,则假设
成立,结论也存在;否则,假设不成立,结论不存在.(3)反证法是证明否定型存在性问题的主
要方法,特别是在无限个候选对象中,证明某种数学对象不存在时,逐一淘汰的方法几乎不能
实行,更需要使用反证法.
课后精练
类型一
交于 A,B 两点,与 y 轴交于 C 点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点 P 为抛物线对称轴上的动点,当△PBC 为等腰三角形时,求点 P 的坐标;
(3)在直线 AC 上是否存在一点 Q,使△QBM 的周长最小?若存在,求出 Q 点坐标;若不存在,请说
明理由.
(第 1 题)
2.问题探究
(1)如图(1),在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,如果 BC 边上存在点 P,使△APD 为等腰三角形,那么
请画出满足条件的一个等腰三角形△APD,并求出此时 BP 的长;
(2)如图(2),在△ABC 中,∠ABC=60°,BC=12,AD 是 BC 边上的高,E,F 分别为边 AB,AC 的中点,
当 AD=6 时,BC 边上存在一点 Q,使∠EQF=90°,求此时 BQ 的长;
问题解决
(3)有一山庄,它的平面图为如图(3)的五边形 ABCDE,山庄保卫人员想在线段 CD 上选一点 M
安装监控装置,用来监视边 AB,现只要使∠AMB 大约为 60°,就可以让监控装置的效果达到最
佳,已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270m,AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段 CD 上是否存在点
M,使∠AMB=60°?若存在,请求出符合条件的 DM 的长,若不存在,请说明理由.
类型二
3.如图,已知☉O 上依次有 A,B,C,D 四个点, = ,连接 AB,AD,BD,弦 AB 不经过圆心 O,延长
AB 到 E,使 BE=AB,连接 EC,F 是 EC 的中点,连接 BF.
(1)若☉O 的半径为 3,∠DAB=120°,求劣弧 的长;
(3)设 G 是 BD 的中点,探索:在☉O 上是否存在点 P(不同于点 B),使得 PG=PF,并说明 PB 与 AE
的位置关系.
4.如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 y 轴交于点 C(0,4),与 x 轴交于点 A 和点 B,其中点 A 的
坐标为(-2,0),抛物线的对称轴 x=1 与抛物线交于点 D,与直线 BC 交于点 E.
(1)求抛物线的表达式;
(2)若点 F 是直线 BC 上方的抛物线上的一个动点,是否存在点 F 使四边形 ABFC 的面积为 17,
若存在,求出点 F 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)平行于 DE 的一条动直线 l 与直线 BC 相交于点 P,与抛物线相交于点 Q,若以 D,E,P,Q 为顶
点的四边形是平行四边形,求点 P 的坐标.
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