资料简介
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中考数学满分之路（四）
——旋转全等与旋转相似
一、旋转全等
有公共顶角顶点且顶角相等的两个等腰三角形组成的图形中，必有全等三角形.
旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋
转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.
如图，已知 AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE. 求证：△ABD≌△ACE.
证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE.
如图，若△ABD≌△ACE，则 AB＝AC，∠BAD＝∠CAE（进而∠BAC＝∠DAE），AD＝AE.
其中△ACE 可看作是由△ABD 绕点 A 逆时针旋转∠BAC 得到的.
所以，将一个三角形绕其一个顶点旋转一定角度（旋转角α满足α＜360°且α≠180°）后，会得到有公共顶角
顶点且顶角相等的两个等腰三角形.
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1. 如图，点 C 为线段 AE 上一动点（不与 A，E 重合），在 AE 同侧分别作正△ABC 和正△CDE，AD 与 BE
交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连接 PQ，OC. 以下 6 个结论：①AD＝BE；②AP＝
BQ；③DE＝DP；④∠AOB＝60°；⑤PQ∥AE；⑥OC 平分∠AOE.
其中，恒成立的有______.（把你认为正确的结论的序号都填上）
2. 如图所示，以 Rt△ABC 的斜边 BC 为一边在△ABC 同侧作正方形 BCEF，设正方形的中心为 O，连接 AO，
如果 AB＝2， 2 2AO ，则 tan∠AOB 的值为______.
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3. 如图，已知点 C 为线段 BD 上一点（不与端点重合），△ABC≌△CDE，且∠ABC＝∠CDE＝90°，连接
AE，点 M 为 AE 的中点，连接 MB，MD. 请判断△BMD 的形状，并说明理由.
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二、旋转相似
将一个三角形绕其一个顶点旋转一定角度（旋转角α满足α＜360°且α≠180°）并放大（或缩小），再连接对
应点后会得到另一组相似三角形. （简述为：旋转相似一拖二）
如图，△ABC∽△ADE △ABD∽△ACE，（可用 SAS 判定相似）.
圆中的旋转相似
已知，△ABC 内接于⊙O，AD 是 BC 边上的高，AE 是直径. 求证： AB AC AD AE .
已知，△ABC 内接于⊙O，角平分线 AD 的延长线交⊙O 于 E. 求证： AB AC AD AE .
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进一步推导， 2( )AB AC AD AE AB AC AD AD DE AD AB AC AD DE AB AC BD DC .
即若 AD 是△ABC 的角平分线，则 2AD AB AC BD DC . （三角形的角平分线长公式）
4. 如图，已知 AC 为正方形 ABCD 的对角线，点 P 是平面内不与点 A，B 重合的任意一点，连接 AP，将线
段 AP 绕点 P 顺时针旋转 90°得到线段 PE，连接 AE，BP，CE.
（1）求证：△APE∽△ABC；
（2）当线段 BP 与 CE 相交时，设交点为 M，求 BP
CE
的值以及∠BMC 的度数；
（3）若正方形 ABCD 的边长为 3，AP＝1，当点 P，C，E 在同一直线上时，求线段 BP 的长.
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5. 如图，在 Rt△ABC 中， 90C ，AD 平分 BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A，D 的⊙O
分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G.
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）设 AB x ， AF y ，试用含 x，y 的代数式表示线段 AD 的长；
（3）若 8BE ， 5sin 13B ，求 DG 的长.
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6. 已知锐角 MBN 的余弦值为 3
5
，点 C 在射线 BN 上， 25BC ，点 A 在 MBN 内部，且 90BAC ，
BCA MBN ，过点 A 的直线 DE 分别交射线 BM，射线 BN 于点 D，E，点 F 在线段 BE 上（点 F
不与点 B 重合），且 EAF MBN .
（1）如图 1，当 AF⊥BN 时，求 EF 的长；
（2）如图 2，当点 E 在线段 BC 上时，设 BF x ， BD y ，求 y 关于 x 的函数解析式并写出函数的定
义域；
（3）连接 DF，当△ADF 与△ACE 相似时，请直接写出 BD 的长.
图 1 图 2 备用图
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三、旋转相似与旋转全等
共锐角顶点的两个处于旋转位置的相似三角形组成的图形中，连接对应点后会得到另一组相似三角形；以
该公共顶点为等腰三角形的顶角顶点可构造出有公共顶角顶点且顶角相等的两个等腰三角形，从而构造出
全等三角形.
连接 PQ，CE
延长 CB 至 P，使 BP＝BC，
延长 ED 至 Q，使 DQ＝DE，如图，Rt△ABC∽Rt△ADE，
∠ABC＝∠ADE＝90°
△APC，△AQE 是有公共顶角顶点
且顶角相等的两个等腰三角形
连接 CQ，M 为 CQ 的中点，
连接 MB，MD
△APQ≌△ACE
MB＝
PQ，MD＝
CE，PQ＝CE，
∴MB＝MD，
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7. 如图，以△ABC 的 AB，AC 边为斜边在△ABC 外部作 Rt△ABP 和 Rt△ACQ，且使∠ABP＝∠ACQ，M 是
BC 的中点，连接 MP，MQ. 求证：PM＝QM 且∠PMQ＝2∠ABP.
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8. 已知：等边△ABC 中，CE 平分∠ACB，D 为 BC 边上一点，且 DE＝DC，连接 BE.
（1）如图 1，若 6 3BC ， 4CE ，求 BE 的长；
（2）如图 2，取 BE 中点 P，连接 AP、PD、AD，求证： AP PD 且 3AP PD ；
（3）在（1）的条件下，将△CDE 绕点 C 顺时针旋转，如图 3，连接 BE，取 BE 中点 P，连接 AP、AD，
当 EC∥AD 时，求 AP 的长.
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9. 如图 1，已知等腰 Rt△ABC 中，E 为边 AC 上一点，过 E 点作 EF⊥AB 于 F 点，以 EF 为边作正方形 EFAG，
且 AC＝4，EF＝2
（1）如图 1，连接 CF，求线段 CF 的长
（2）将等腰 Rt△ABC 绕 A 点旋转至如图 2 的位置，连接 BE，M 点为 BE 的中点，连接 MC、MF，求
MC 与 MF 的关系
（3）将△ABC 绕 A 点旋转一周，请直接写出点 M 在这个过程中的运动路径长为______.
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