资料简介
2021 年中考数学复习微专题
《三角形的相关计算与证明》高频考点突破与提升专题讲义
考点一： 三角形的角度计算
1. 如图:一块直角三角板的 60°角的顶点 A 与直角顶点 C 分别在两平行线 FD,GH
上,斜边 AB 平分∠CAD,交直线 GH 于点 E,则∠ECB 的大小为( )
A.60° B.45° C.30° D.25°
2. 如图,将三角形 ABC 纸片沿 MN 折叠,使点 A 落在点 A′处,若∠AMN=50°,
∠A′MB 的度数是( )
A.20° B.120° C.70° D.80°
3. 如图,在△ABC 中,AD=BD=BC,若∠A=x°,则∠ABC= 度(用含 x 的代数式
表示).
4. 如图所示，在△ABC 中，∠BAC∶∠ABC∶∠BCA＝3∶4∶5，BD，CE 分别是边
AC，AB 上的高，BD，CE 相交于点 H，则∠BHC 的度数为 .
5.如图,在△ABC 中,BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D,DE∥BC 交 AB 于点 E,EF⊥BD 于点
F.求证:∠BEF=∠DEF.
考点二：三角形的长度计算
1. 如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 BC 于点 E,连接 AE.若
BC=6,AC=5,则△ACE 的周长为( )
A.8 B.11 C.16 D.17
2. 如图,点 P 是∠AOC 的角平分线上一点,PD⊥OA,垂足为点 D,且 PD=3,点 M 是射
线 OC 上一动点,则 PM 的最小值为 .
3. 如图,在△ABC 中,AC=3,BC=4,若 AC,BC 边上的中线 BE,AD 垂直相交于 O 点,则
AB= .
4. 如图，已知△ABC 的周长为 27 cm，AC＝9 cm，BC 边上中线 AD＝6 cm，△ABD
周长为 19 cm，AB＝ ．
5. 如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的中线，AB＝BC，且 AD 把△ABC 的周长分成 3
和 4 的两部分，求 AC 边的长．
6.如图,某天晚上 8 点时,一台风中心位于点 O 正北方向 160 km 点 A 处,台风中心
以每小时 20
2
km 的速度向东南方向移动,在距台风中心≤120 km 的范围内将
受到台风影响,同时,在点 O 有一辆汽车以每小时 40 km 的速度向正东行驶.
(1)汽车行驶了多少小时后受到台风影响?
(2)汽车受到台风影响的时间有多长?
考点三：特殊的三角形
1.如图,在△ABC 中,∠A=90°,D 是 AB 的中点,过点 D 作 BC 的平行线交 AC 于点 E,
作 BC 的垂线交 BC 于点 F,若 AB=CE,且△DFE 的面积为 1,则 BC 的长为 ( )
A.2
5
B.5 C.4
5
D.10
2.若△ABC 三边长 a,b,c,满足
+
-
81
+|b-a-1|+ (c-9)2=0,则△ABC 是
( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
3.如图,△MNP 中,∠P=60°,MN=NP,MQ⊥PN,垂足为 Q,延长 MN 至 G,取 NG=NQ,若
△MNP 的周长为 12,MQ=a,则△MGQ 的周长是 ( )
A.8+2a B.8+a C.6+a D.6+2a
4. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D,E 是边 AB 上两点,且 CE 所在的直线垂直
平分线段 AD,CD 平分∠BCE,AC=10,则 BD 的长为 .
5.如图,△ABC 中,CD,BE 是边 AB 和 AC 上的高,点 M 在 BE 的延长线上,且 BM=AC,
点 N 在 CD 上,且 AB=CN,则∠MAN 的度数是 .
6. 如图所示,在平面直角坐标系中,点 A,B 的坐标分别为 A(a,0),B(b,0),且 a,b
满足|a+3|+
5
-
=0,点 C 的坐标为(0,3).
(1)求 a,b 的值及 S△ABC;
(2)若点 M 在 x 轴上,且 S△ACM=
1
4
S△ABC,试求点 M 的坐标.
7. 为了测量某山(如图所示)的高度,甲在山顶 A 测得 C 处的俯角为 45°,D 处的
俯角为 30°,乙在山下测得 C,D 之间的距离为 400 米.已知 B,C,D 在同一水平面
的同一直线上,求山高 AB.(可能用到的数据:
2
≈1.414,
3
≈1.732)
考点四：三角形与全等问题
1. 如图,AB=DE,∠A=∠D,添加以下条件,不能使△ABC≌△DEF 的是( )
A.AC=DF B.BC=EF C.∠B=∠E D.∠C=∠F
2. 如图，在△ABC 和△DEC 中，已知 AB＝DE，还需添加两个条件才能使
△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是( )
A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC
C．BC＝EC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D
3. 已知三角形的两条边长分别是 3 cm 和 4 cm，一个内角为 40°，那么满足这
一条件且彼此不全等的三角形共有 个．
4. 如图,△ABC 为等边三角形,过点 B 作 BD⊥AC 于点 D,过 D 作 DE∥BC,且 DE=CD,
连接 CE,
(1)求证:△CDE 为等边三角形;
(2)连接 BE,若 AB=4,求 BE 的长.
5. 如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,点 D,E,F 分别在 AB,BC,AC 边上,且
BE=CF,BD=CE.
(1)求证:△DEF 是等腰三角形;
(2)当∠A=36°时,求∠DEF 的度数.
6. 已知,在△ABC 中,∠A=90°,AB=AC,点 D 为 BC 的中点.
(1)如图①,若点 E,F 分别为 AB,AC 上的点,且 DE⊥DF,求证:BE=AF.
(2)若点 E,F 分别为 AB,CA 延长线上的点,且 DE⊥DF,那么 BE=AF 吗?请利用图②
说明理由.
考点五：三角形的综合应用
1. 在正方形网格中,网格线的交点称为格点.如图是 3×3 的正方形网格,已知
A,B 是两格点,在网格中找一点 C,使得△ABC 为等腰直角三角形,则这样的点 C 有
( )
A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个
2. 如图,已知△ABC,AB=AC,∠A=90°,直角∠EPF 的顶点 P 是 BC 的中点,两边
PE,PF 分别交 AB,AC 于点 E,F.给出以下结论:
①AE=CF;②EF=AP;③△EPF 是等腰直角三角形;④S 四边形 AEPF=
1
2
S△ABC.
上述结论始终正确的有 ( )
A.①②③ B.①③ C.①③④ D.①②③④
3. 已知圆柱形茶杯的高为 12 厘米,底面直径为 5 厘米,将长为 20 厘米的筷子沿
底面放入杯中,筷子露在杯子口外的长度是 x 厘米,则 x 的取值范围是 .
4. △ABC 与△DEF 是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠D=90°,AB=AC=
6
.
现将△DEF 与△ABC按如图所示的方式叠放在一起,使△ABC保持不动,△DEF 运动,
且满足点 E 在边 BC 上运动(不与 B,C 重合),边 DE 始终经过点 A,EF 与 AC 交于点
M.在△DEF 运动过程中,若△AEM 能构成等腰三角形,则 BE 的长为 .
5. 如图,已知点 A 的坐标为(4,0),点 B 的坐标为(0,3),在第一象限内找一点
P(a,b),使△PAB 为等边三角形,则 2(a-b)= .
6. 已知 D是 Rt△ABC斜边 AB 的中点,∠ACB=90°, ∠ABC=30°,过点 D作 Rt△DEF
使∠DEF=90°,∠DFE=30°,连接 CE 并延长 CE 到 P,使 EP=CE,连接 BE,FP,BP,设
BC 与 DE 交于 M,PB 与 EF 交于 N.
(1)如图 1,当 D,B,F 共线时,求证:
①EB=EP;
②∠EFP=30°;
(2)如图 2,当 D,B,F 不共线时,连接 BF,求证:∠BFD+∠EFP=30°.
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