资料简介
一、选择题
1. (2020·雅安)下列四个选项中不是命题的为 ( )
A. 对顶角相等 B. 过直线外一点作直线的平行线
C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 如果a=b,a=c,那么b=c
第八章 三 角 形
1. 三 角 形
B
C
A
B
D
第5题
6. (2020·海南) 如图,AB∥CD,直线AC和BD相交于点E. 若∠ABE=70°,
∠ACD=40°,则∠AEB的度数是 ( )
A. 50° B. 60°
C. 70° D. 80°
7. (2020·攀枝花)如图,平行线AB,CD被直线EF所截,过点B作BG⊥EF于点G.
已知∠1=50°,则∠B的度数是 ( )
A. 20° B. 30°
C. 40° D. 50°
8. (2020·泰安)将含30°角的一块直角三角尺和一把直尺按如图所示的方式
放置.若∠1=50°,则∠2的度数是 ( )
A. 80° B. 100°
C. 110° D. 120°
C
C
C
第7题
第8题
第6题
9. (2020·湘潭)如图,∠ACD是△ABC的外角.若∠ACD=110°,∠B=50°,
则∠A的度数是 ( )
A. 40° B. 50°
C. 55° D. 60°
10. (2020·淄博)如图,在四边形ABCD中,CD∥AB,AC⊥BC.若∠B=50°,
则∠DCA的度数是 ( )
A. 30° B. 35°
C. 40° D. 45°
11. (2020·北京)如图,AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是 ( )
A. ∠1=∠2 B. ∠2=∠3
C. ∠1>∠4+∠5 D. ∠2<∠5
D
A
C
第10题
第11题
第9题
12. (2020·包头)如图,∠ACD是 △ABC 的外角,CE∥AB. 若∠ACB=75°,
∠ECD=50°,则∠A的度数为 ( )
A. 50° B. 55°
C. 70° D. 75°
13. (2020·陕西)如图,在△ABC中,∠A=46°,∠B=72°.若直线l∥BC,
则∠1的度数为 ( )
A. 117° B. 120°
C. 118° D. 128°
14. (2020·德阳)如图,直线EF∥GH,射线AC分别交直线EF,GH于点B和点C,
AD⊥EF于点D.如果∠A=20°,那么∠ACG的度数是 ( )
A. 160° B. 110°
C. 100° D. 70°
B
B
C
第13题
第14题
第12题
15. (2020·江西)如图,∠1=∠2=65°,∠3=35°,则下列结论错误的是
( )
A. AB∥CD
B. ∠B=30°
C. ∠C+∠2=∠EFC
D. CG>FG
16. (2020·天门)将一副三角尺按如图所示的方式摆放,点E在AC上,点D在
BC的延长线上,EF∥BC,∠B=∠EDF=90°,∠A=45°,∠F=60°,
则∠CED的度数是 ( )
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
C
A
第16题
第15题
17. (2020·丹东)如图,CO是△ABC的角平分线,过点B作BD∥AC交CO的延长
线于点D.若∠A=45°,∠AOD=80°,则∠CBD的度数为 ( )
A. 100°
B. 110°
C. 125°
D. 135°
18. (2020·锦州)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,CD平分∠ACB,
则∠ADC的度数是 ( )
A. 80°
B. 90°
C. 100°
D. 110°
B
C
第18题
第17题
二、填空题
19. (2020·北京)如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,D是网格线交点,
则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为:S△ABC______S△ABD(填“>”
“<”或“=”).
第19题 第21题
20. (2020·济宁)已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边
长可以是___________________(写出一个即可).
21. (2020·黄冈)如图,AB∥EF,∠ABC=75°,∠CDF=135°,则∠BCD=
________°.
=
答案不唯一,如4
30
22. (2020·衡阳)将一副三角尺按如图所示的方式摆放,且AB∥CD,则∠1的
度数为________.
第22题 第23题
23. (2020·泰州)如图,将分别含有30°,45°角的一副三角尺重叠,使直
角顶点重合,若两直角重叠形成的角为65°,则图中角α的度数为_______.
105°
140°
三、解答题
24. (2020·长春)图①②③均是3×3的正方形网格,每个小正方形的边长为
1,每个小正方形的顶点称为格点,线段AB的端点均在格点上,只用无刻
度的直尺,在给定的网格中,按下列要求以AB为边画△ABC.
要求:
(1) 在图①中画一个钝角三角形,在图②中画一个直角三角形,在图③
中画一个锐角三角形;
(2) 三个图中所画的三角形的面积均不相等;
(3) 点C在格点上.
答案不唯一,如图所示
第24题
25. (2020·毕节)将一副直角三角尺(∠A=∠FDE=90°,∠F=45°,∠C=
60°,点D在边AB上)按图中所示位置摆放,两条斜边为EF,BC,且EF∥BC,
求∠ADF的度数.
如图,设CB与FD交点为G.∵ EF∥BC,∴ ∠F=
∠BGD=45°.又∵ ∠ADG是△BDG的外角,∴
∠ADG=∠B+∠BGD.∵ ∠B=30°,∴ ∠ADG=
∠B+∠BGD=30°+45°=75°,即∠ADF=75°
第25题
2. 全等三角形
一、选择题
1. (2020·淄博)如图,若△ABC≌△ADE,则下列结论中一定成立的是( )
A. AC=DE B. ∠BAD=∠CAE
C. AB=AE D. ∠ABC=∠AED
2. (2020·永州)如图,AB=DC,∠ABC=∠DCB,能直接判断△ABC≌△DCB的
方法是 ( )
A. SAS B. AAS
C. SSS D. ASA
3. (2020·甘孜州)如图,在等腰三角形ABC中,点 D,E 分别在腰AB,AC上,
添加下列条件,不能判定△ABE≌△ACD的是 ( )
A. AD=AE B. BE=CD
C. ∠ADC=∠AEB D. ∠DCB=∠EBC
B
B
A
第2题
第3题
第1题
A
B
第5题
第4题
6. (2020·鄂州)如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,OA<OC,
∠AOB=∠COD=36°.连接AC,BD交于点M,连接OM.有下列结论:① ∠AMB=
36°;② AC=BD;③ OM平分∠AOD;④ MO平分∠AMD.
其中正确的结论有 ( )
A. 4个 B. 3个
C. 2个 D. 1个
7. (2020·天门)如图,△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=90°,
BD,CE交于点F,连接AF.有下列结论:① BD=CE;② BF⊥CF;③ AF平
分∠CAD;④ ∠AFE=45°.其中正确的结论有 ( )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
B
C
第7题
第6题
C
第8题
二、填空题
9. (2020·北京) 如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上(不与点B,C重合).
只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD,这个条件可以是____________
______________(写出一个即可).
第9题 第10题 第11题
10. (2020·齐齐哈尔)如图,在△ABD和△ABC中,∠DAB=∠CAB,点A,B,E
在同一条直线上,若使△ABD≌△ABC,则还需添加的一个条件是_______
__________________(只填一个即可).
11. (2020·农垦)如图,在 Rt△ABC和Rt△EDF中,BC∥DF,在不添加任何辅
助线的情况下,请你添加一个条件_____________________________,使
Rt△ABC和Rt△EDF全等.
答案不唯一,
如BD=CD
答案不唯一,如AB=ED
答案不
唯一,如AD=AC
12. (2020·怀化)如图,在△ABC和△ADC中,AB=AD,BC=DC,∠B=130°,
则∠D=________°.
第12题 第13题 第14题 第15题 第16题
13. (2020·湘潭)如图,P是∠AOC的平分线上一点,PD⊥OA,垂足为D,且PD
=3,M是射线OC上一动点,则PM的最小值为________.
14. (2020·十堰)如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线.若AE=3,△ABD
的周长为13,则△ABC的周长为________.
15. (2020·青海)如图,在△ABC中,AB=AC=14 cm,AB的垂直平分线MN交
AC于点D,且△DBC的周长是24 cm,则BC=________cm.
16. (2020·江西)如图,AC平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E.若
∠EAC=49°,则∠BAE的度数为________.
130
3
19
10
82°
三、解答题
17. (2020·吉林) 如图,在△ABC中,AB>AC,点D在边AB上,且BD=CA,过
点D作DE∥AC,并截取DE=AB,且点C,E在AB同侧,连接BE.求证:△DEB
≌△ABC.
18. (2020·铜仁)如图,∠B=∠E,BF=EC,AC∥DF.求证:△ABC≌△DEF.
第17题
第18题
19. (2020·南通)如图,点D在AB上,点E在AC上,AD=AE,∠B=∠C.求证:
AB=AC.
20. (2020·云南)如图,AD=BC,BD=AC.求证:∠D=∠C.
21. (2020·昆明)如图,AC是∠BAE的平分线,D是线段AC上的一点,∠C=
∠E,AB=AD.求证:BC=DE.
第19题
第20题
第21题
22. (2020·西藏)如图,在△ABC中,D为BC边上的一点,AD=AC,以线段AD
为边作△ADE,使得AE=AB,∠BAE=∠CAD.求证:DE=CB.
23. (2020·南充)如图,点C在线段BD上,且AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE,BC=
DE.求证:AB=CD.
第22题
第23题
24. (2020·菏泽)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点 E在 AC 的延长线上,
ED⊥AB于点D.若BC=ED,求证:CE=DB.
25. (2020·镇江)如图,AC是四边形ABCD的对角线,∠1=∠B,点E,F分别
在AB,BC上,BE=CD,BF=CA,连接EF.
(1) 求证:∠D=∠2;
(2) 若EF∥AC,∠D=78°,求∠BAC的度数.
第24题
第25题
26. (2020·黄石)如图,AB=AE,AB∥DE,∠DAB=70°,∠E=40°.
(1) 求∠DAE的度数;
(2) 若∠B=30°,求证:AD=BC.
第26题
27. (2020·常州)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,EA∥FB,EA=FB,
AB=CD.
(1) 求证:∠E=∠F;
(2) 若∠A=40°,∠D=80°,求∠E的度数.
第27题
28. (2020·无锡)如图,AB∥CD,AB=CD,BE=CF.求证:
(1) △ABF≌△DCE;
(2) AF∥DE.
第28题
29. (2020·徐州)如图,AC⊥BC,DC⊥EC,AC=BC,DC=EC,AE与BD交于点F.
(1) 求证:AE=BD;
(2) 求∠AFD的度数.
第29题
30. (2020·宜宾)如图,在△ABC中,D是边BC的中点,连接AD并延长到点E,
使DE=AD,连接CE.
(1) 求证:△ABD≌△ECD;
(2) 若△ABD的面积为5,求△ACE的面积.
第30题
31. (2020·鞍山)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,点E,F分别在
AB,AD上,AE=AF,CE=CF,求证:CB=CD.
第31题
3. 等腰三角形
一、选择题
1. (2020·毕节)已知等腰三角形两边的长分别为3和7,则此等腰三角形的周
长为 ( )
A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 13或10
2. (2020·青海)等腰三角形的一个内角为70°,则另外两个内角的度数分别
是 ( )
A. 55°,55° B. 70°,40°或70°,55°
C. 70°,40° D. 55°,55°或70°,40°
3. (2020·福建)如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于
( )
A. 10 B. 5
C. 4 D. 3
B
B
D
第3题
4. (2020·临沂)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,CD∥AB,则∠BCD
的度数是 ( )
A. 40° B. 50°
C. 60° D. 70°
5. (2020·聊城)如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=65°,D是BC边上任意一
点,过点D作DF∥AB交AC于点E,则∠FEC的度数是 ( )
A. 120° B. 130°
C. 145° D. 150°
6. (2020·鞍山)如图,直线l1∥l2,点A在直线l1上,以点A为圆心,适当长
为半径画弧,分别交直线l1,l2于B,C两点,连接AC,BC.若∠ABC=54°,
则∠1的度数为 ( )
A. 36° B. 54°
C. 72° D. 73°
D
C
B
第5题
第6题
第4题
7. (2020·绵阳) 如图,在螳螂的示意图中,AB∥DE,△ABC是等腰三角形,
∠ABC=124°,∠CDE=72°,则∠ACD的度数是 ( )
A. 16° B. 28°
C. 44° D. 45°
8. (2020·苏州)如图,在△ABC中,∠BAC=108°,将△ABC绕点A按逆时针
方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上,且AB′=CB′,则∠C′
的度数为 ( )
A. 18° B. 20°
C. 24° D. 28°
9. (2020·益阳)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,CD平分∠ACB.
若∠A=50°,则∠B的度数为 ( )
A. 25° B. 30°
C. 35° D. 40°
C
B
C
第8题
第9题
第7题
D
C
第11题
第10题
C
D
第13题
二、填空题
14. (1) (2020·齐齐哈尔)等腰三角形的两条边长分别为3和4,则这个等腰
三角形的周长是__________;
(2) (2020·黔南州)已知等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,则
它的周长为________.
15. (2020·滨州)在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠B=50°,则∠A的度数为
________.
16. (2020·青海)已知a,b,c为△ABC的三边长.b,c满足(b-2)2+|c-3|
=0,且a为方程|x-4|=2的解,则△ABC的形状为________三角形.
17. (2020·恩施州)如图,直线l1∥l2,点A在直线l1上,点B
在直线l2上,AB=BC,∠C=30°,∠1=80°,则∠2的
度数为________.
10或11
22
80°
等腰
40°
第17题
18. (2020·常州)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.
若△AFC是等边三角形,则∠B=________°.
第18题 第19题 第20题 第21题 第22题
19. (2020·襄阳)如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=20°,则∠C=
________°.
20. (2020·黄冈)如图,在△ABC中,点D在边BC上,AB=AD=DC,∠C=35°,
则∠BAD=________°.
21. (2020·阜新)如图,直线 a,b 过等边三角形ABC的顶点A和C,且 a∥b,
∠1=42°,则∠2的度数为________.
22. (2020·宜昌)如图,在一个池塘两旁有一条笔直的小路(B,C为小路端点)
和一棵小树(A为小树位置).测得的相关数据为:∠ABC=60°,∠ACB=
60°,BC=48 m,则AC=________m.
30
40
40
102°
48
23. (2020·台州)如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三
等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF
的周长是________.
第23题 第24题 第25题
24. (2020·南京)如图,线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O.若∠1=
39°,则∠AOC的度数为________.
25. (2020·十堰)如图,D是等边三角形ABC外一点.若BD=8,CD=6,连接
AD,则AD的最大值与最小值的差为________.
6
78°
12
三、解答题
26. (2020·内江)如图,点C,E,F,B在同一条直线上,点A,D在BC异侧,
AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D.
(1) 求证:AB=DC;
(2) 若AB=CF,∠B=40°,求∠D的度数.
第26题
27. (2020·大连)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E在边BC上,BD=CE.求
证:∠ADE=∠AED.
第27题
28. (2020·衡阳)如图,在 △ABC 中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1) 求证:DE=DF;
(2) 若∠BDE=40°,求∠BAC的度数.
第28题
29. (2020·珠海)如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC边上的点,BD=CE,
∠ABE=∠ACD,BE与CD相交于点F.求证:△ABC是等腰三角形.
30. (2020·台州)如图,AB=AC,AD=AE,BD和CE相交于点O.
(1) 求证:△ABD≌△ACE;
(2) 判断△BOC的形状,并说明理由.
第29题
(1) ∵ 在△ABD和△ACE中,AB=AC,∠A=∠A,AD=
AE,∴ △ABD≌△ACE(SAS)
(2) △BOC是等腰三角形 理由:∵ △ABD≌△ACE,∴ ∠ABD=
∠ACE.∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB.∴ ∠ABC-∠ABD=∠ACB
-∠ACE,即∠OBC=∠OCB.∴ BO=CO.∴ △BOC是等腰三角形.
第30题
31. (2020·哈尔滨)在△ABC中,AB=AC,点D,E在边BC上,BD=CE,连接AD,
AE.
(1) 如图①,求证:AD=AE;
(2) 如图②,当∠DAE=∠C=45°时,过点B作BF∥AC交AD的延长线于点
F,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中的四个等腰三角形,
使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°.
第31题
32. (2020·河池)(1) 如图①,CE与AB交于点E,AC=BC,∠1=∠2.求证:
△ACE≌△BCE.
(2) 如图②,CD的延长线与AB交于点E,AD=BC,∠3=∠4.探究AE与BE
的数量关系,并说明理由.
第32题
33. (2020·绍兴)问题:如图,在△ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,
C,作△AEC,使EA=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.
答案:∠DAC=45°.
思考:(1) 如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件
不变,那么∠DAC的度数会改变吗?请说明理由.
(2) 如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=
90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.
第33题
34. (2020·烟台)如图,在等边三角形ABC中,E是边AC上一定点,点D是直线
BC上一动点,以DE为一边作等边三角形DEF,连接CF.
【问题解决】
如图①,若D在边BC上,求证:CE+CF=CD.
【类比探究】
如图②,若点D在边BC的延长线上,请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样
的数量关系,并说明理由.
第34题
4. 直角三角形与勾股定理
一、选择题
1. (2020·玉林)如图是A,B,C三岛的平面图,C岛在A岛的北偏东 35°方向,
B岛在A岛的北偏东 80°方向,C岛在B岛的北偏西55°方向,则A,B,C三
岛组成一个 ( )
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等边三角形
2. (2020·鄂州)如图,a∥b,一块含45°角的直角三角尺的一个顶点落在其
中一条直线上.若∠1=65°,则∠2的度数为 ( )
A. 25° B. 35°
C. 55° D. 65°
A
A
第2题
第1题
3. (2020·宁夏)如图摆放的是一副学用直角三角尺,∠F=30°,∠C=45°,
AB与DE相交于点G,当EF∥BC时,∠EGB的度数是 ( )
A. 135° B. 120°
C. 115° D. 105°
4. (2020·吉林)将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的度数为
( )
A. 85° B. 75°
C. 65° D. 60°
5. (2020·自贡)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,以点B为圆
心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度数是 ( )
A. 50° B. 40°
C. 30° D. 20°
D
D
B
第4题
第5题
第3题
A
B
第8题
第6题
B
9. (2020·盘锦)我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题.原
文是:今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问
水深、葭长各几何?译为:有一个水池,水面是一个边长为 10尺的正方
形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水
池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面,水的深度与这根芦苇的
长度分别是多少?设芦苇的长度是x尺.根据题意,可列方程为 ( )
A. x2+102=(x+1)2
B. (x-1)2+52=x2
C. x2+52=(x+1)2
D. (x-1)2+102=x2
B
第9题
10. (2020·南宁)《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载:今有开
门去阃(读kǔn,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何?题目大意是:
如图①②(图②为图①的平面示意图),推开双门,双门间隙CD的距离为2
寸,点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸),则AB的长为 ( )
第10题
A. 50.5寸 B. 52寸
C. 101寸 D. 104寸
C
B
第11题
第12题
B
D
第13题
第14题
D
A
第15题
第16题
A
二、填空题
17. (2020·淮安)已知直角三角形的斜边长为16,则这个直角三角形斜边上
的中线长为________.
18. (2020·岳阳)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,∠A=20°,
则∠BCD=________°.
第18题 第19题
19. (2020·宿迁)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线AD交BC于点D,
E为AB的中点.若BC=12,AD=8,则DE的长为________.
8
70
5
20. (2020·扬州)《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一,奠定了中
国传统数学的基本框架.如图所示为其中记载的一道“折竹”问题:“今
有竹高一丈,末折抵地,去根三尺,问折者高几何?”题意是:一根竹
子原高1丈(1丈=10尺),中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺,试
问折断处离地面多高?答:折断处离地面________尺高.
第20题 第22题
21. (2020·绥化)在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB-AC=2,BC=8,则AB的
长是________.
22. (2020·雅安)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图
所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O. 若AD=2,BC=4,
则AB2+CD2的值为________.
4.55
17
20
23. (2020·娄底)由4个直角边长分别为a,b的直角三角形围成的“赵爽弦图”
如图所示,根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积(a-b)2与4个直角
三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2=c2,还可以用来证明结论:
若a>0,b>0,且a2+b2为定值,则当a________b时,ab取得最大值.
第23题 第24题
24. (2020·宁夏)2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国
古代数学家赵爽的《勾股圆方图》,它是由四个全等的直角三角形与中
间的小正方形拼成的一个大正方形(如图 ①),且大正方形的面积是15,
小正方形的面积是3,直角三角形的较短直角边为a,较长直角边为b.如
果将四个全等的直角三角形按如图②的形式摆放,那么图②中最大的正
方形的面积为________.
=
27
1
28. (2020·安顺) 如图,在△ABC中,点E在边AC上,EB=EA,∠A=2∠CBE,
CD垂直于BE的延长线于点D,BD=8,AC=11,则边BC的长为________.
第28题 第29题
29. (2020·通辽)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点P在斜边AB上,
以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ,∠PCQ=90°,则PA2,PB2,PC2三者之
间的数量关系是_________________.PB2+PA2=2PC2
三、解答题
30. (2020·铁岭)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,D为AB边
的中点,连接DC,过点D作DE⊥DC交AC于点E.求∠EDA的度数.
∵ 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,∴
∠A=30°.∵ D为AB边的中点,∴ CD=BD=AD.∴
△BCD是等边三角形,∠ACD=∠A=30°.∴ ∠BDC
=60°.∵ DE⊥DC,∴ ∠CDE=90°.∴ ∠EDA=
180°-∠CDE-∠BDC=30°
第30题
31. (2020·温州)如图,在△ABC和△DCE中,AC=DE,∠B=∠DCE=90°,
点A,C,D依次在同一条直线上,且AB∥DE.
(1) 求证:△ABC≌△DCE;
(2) 连接AE,当BC=5,AC=12时,求AE的长.
第31题
32. (2020·安顺)如图,在4×4的正方形网格中,每个小格的顶点叫做格点,
以格点为顶点分别按下列要求画三角形.
(1) 在图①中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数;
(2) 在图②中,画一个直角三角形,使它的一边长是有理数,另外两边
长是无理数;
(3) 在图③中,画一个直角三角形,使它的三边长都是无理数.
(1) 如图①,△ABC即为所求
第32题
(2) 答案不唯一,如图②,
△ABC即为所求
(3) 答案不唯一,如图③,
△ABC即为所求
33. (2020·荆门)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B的平分线交AC于点D,AE∥
BC交BD的延长线于点E,AF⊥AB交BE于点F.
(1) 若∠BAC=40°,求∠AFE的度数;
(2) 若AD=DC=2,求AF的长.
第33题
(1) ∵ ∠B=∠APD=90°,∴
∠BAP+∠APB=90°,∠APB+
∠CPD=90°.∴ ∠BAP=∠CPD.
又∵ AP=PD,∠B=∠C=90°,∴ △BAP≌△CPD(AAS).∴ BP
=CD,AB=PC.∴ AB+CD=PC+BP=BC
第34题
35. (2020·随州)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一,西方国家称
之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则
弦五”的记载,我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦
图”(如图①),后人称之为“赵爽弦图”,流传至今.
(1) ① 请叙述勾股定理;
② 勾股定理的证明,人们已经找到了400
多种方法,请从下列几种常见的证明方法
中任选一种来证明该定理 (图①②③均满
足证明勾股定理所需的条件).
第35题
(2) ① 如图④⑤⑥,以直角三角形的三边为边或直径,分别向外部作正方形、
半圆、等边三角形,这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有________个;
② 如图⑦,分别以直角三角形三边为直径作半圆,设图中两个月形图案(图
中涂色部分)的面积分别为S1,S2,直角三角形面积为S3,请判断S1,S2,S3的
关系并证明.
第35题
3
(3) 如果以正方形的一边为斜边向外作直角三角形,再以该直角三角形的两
直角边分别向外作正方形,重复这一过程就可以得到如图⑧所示的“勾股树”.
在如图⑨所示的“勾股树”的某部分图形中,设大正方形M的边长为定值m,
四个小正方形A,B,C,D的边长分别为a,b,c,d,已知∠1=∠2=∠3=
∠α,则当∠α变化时,回答下列问题(结果可用含m的式子表示):
① a2+b2+c2+d2=________;
② b与c的关系为________,a与d的关系为___________.
第35题
m2
b=c a+d=m
5. 尺规作图
B
2. (2020·宜昌)如图,点E,F,G,Q,H在一条直线上,且EF=GH,我们知
道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线.下列说法正确的是 ( )
A. l是线段EH的垂直平分线
B. l是线段EQ的垂直平分线
C. l是线段FH的垂直平分线
D. EH是l的垂直平分线
3. (2020·河池)观察下列作图痕迹,所作CD为△ABC的边AB上的中线的是
( )
A B C D
A
第2题
B
4. (2020·衢州) 过直线l外一点P作直线l的平行线,下列尺规作图中错误的
是 ( )
A B C D
5. (2020·通辽)根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功地找到三角形内心的是
( )
A B C D
D
B
B
B
C
第9题
D
C
第10题
D
第11题
A
第12题
D
第13题
13
27
12
5
55
32
三、解答题
21. (2020·陕西)如图,已知△ABC,AC>AB,∠C=45°.请用尺规作图法,
在AC边上求作一点P,使∠PBC=45°(保留作图痕迹,不写作法).
如图,点P即为所求
第21题
22. (2020·衢州)如图,在5×5的网格中,△ABC的三个顶点都在格点上.
(1) 在图①中画出一个以AB为边的▱ ABDE,使顶点D,E在格点上;
(2) 在图②中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l(至少经过两个格点).
(1) 如图①,平行四边形ABDE
即为所求(点D的位置还有6种
情形可取)
(2) 如图②,直线l即为所求
第22题
答案不唯一,如(1) 如图①,线
段EF和线段GH即为所求
(2) 如图②,线段MN和线段PQ即
为所求 第23题
(1) 如图,正方形ABEF即为所求
第24题
25. (2020·青岛)已知:△ABC.求作:⊙O,使它经过点B和点C,并且圆心O
在∠A的平分线上.
如图,⊙O即为所求
第25题
(1) 如图①,直线l、⊙O即为所求
第26题
27. (2020·达州)如图,点O在∠ABC的边BC上,以OB为半径作⊙O,∠ABC的
平分线BM交⊙O于点D,过点D作DE⊥BA于点E.
(1) 尺规作图(不写作法,保留作图痕迹),补全图形;
(2) 判断⊙O与DE交点的个数,并说明理由.
(1) 如图,⊙O、射线BM、直线DE即为所求
第27题
(2) ⊙O与DE只有一个交点 理由:∵ OB=OD,∴ ∠ODB=
∠OBD.∵ BD平分∠ABC,∴ ∠ABD=∠OBD.∴ ∠ODB=∠ABD.∴
OD∥AB.∵ DE⊥AB,∴ DE⊥OD.∴ 直线DE是⊙O的切线.∴ ⊙O
与直线DE只有一个交点.
28. (2020·福建)如图,C为线段AB外一点.
(1) 求作四边形ABCD,使得CD∥AB,且CD=2AB(要求:尺规作图,不写
作法,保留作图痕迹);
(2) 在(1)的四边形ABCD中,AC,BD相交于点P,AB,CD的中点分别为M,
N,求证:M,P,N三点在同一条直线上.
(1) 如图①,四边形ABCD即为所求
第28题
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