天天资源网 / 初中数学 / 中考模拟 / 沪科版九年级数学中考复习：三角形
资料简介
一、选择题
1. (2020·雅安)下列四个选项中不是命题的为 ( )
A. 对顶角相等 B. 过直线外一点作直线的平行线
C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 如果a＝b，a＝c，那么b＝c
第八章 三 角 形
1. 三 角 形
B
C
A
B
D
第5题
6. (2020·海南) 如图，AB∥CD，直线AC和BD相交于点E. 若∠ABE＝70°，
∠ACD＝40°，则∠AEB的度数是 ( )
A. 50° B. 60°
C. 70° D. 80°
7. (2020·攀枝花)如图，平行线AB，CD被直线EF所截，过点B作BG⊥EF于点G.
已知∠1＝50°，则∠B的度数是 ( )
A. 20° B. 30°
C. 40° D. 50°
8. (2020·泰安)将含30°角的一块直角三角尺和一把直尺按如图所示的方式
放置．若∠1＝50°，则∠2的度数是 ( )
A. 80° B. 100°
C. 110° D. 120°
C
C
C
第7题
第8题
第6题
9. (2020·湘潭)如图，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD＝110°，∠B＝50°，
则∠A的度数是 ( )
A. 40° B. 50°
C. 55° D. 60°
10. (2020·淄博)如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC.若∠B＝50°，
则∠DCA的度数是 ( )
A. 30° B. 35°
C. 40° D. 45°
11. (2020·北京)如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是 ( )
A. ∠1＝∠2 B. ∠2＝∠3
C. ∠1＞∠4＋∠5 D. ∠2＜∠5
D
A
C
第10题
第11题
第9题
12. (2020·包头)如图，∠ACD是 △ABC 的外角，CE∥AB. 若∠ACB＝75°，
∠ECD＝50°，则∠A的度数为 ( )
A. 50° B. 55°
C. 70° D. 75°
13. (2020·陕西)如图，在△ABC中，∠A＝46°，∠B＝72°.若直线l∥BC，
则∠1的度数为 ( )
A. 117° B. 120°
C. 118° D. 128°
14. (2020·德阳)如图，直线EF∥GH，射线AC分别交直线EF，GH于点B和点C，
AD⊥EF于点D.如果∠A＝20°，那么∠ACG的度数是 ( )
A. 160° B. 110°
C. 100° D. 70°
B
B
C
第13题
第14题
第12题
15. (2020·江西)如图，∠1＝∠2＝65°，∠3＝35°，则下列结论错误的是
( )
A. AB∥CD
B. ∠B＝30°
C. ∠C＋∠2＝∠EFC
D. CG＞FG
16. (2020·天门)将一副三角尺按如图所示的方式摆放，点E在AC上，点D在
BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，
则∠CED的度数是 ( )
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
C
A
第16题
第15题
17. (2020·丹东)如图，CO是△ABC的角平分线，过点B作BD∥AC交CO的延长
线于点D.若∠A＝45°，∠AOD＝80°，则∠CBD的度数为 ( )
A. 100°
B. 110°
C. 125°
D. 135°
18. (2020·锦州)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，
则∠ADC的度数是 ( )
A. 80°
B. 90°
C. 100°
D. 110°
B
C
第18题
第17题
二、填空题
19. (2020·北京)如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，
则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC______S△ABD(填“＞”
“＜”或“＝”)．
第19题 第21题
20. (2020·济宁)已知三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边
长可以是___________________(写出一个即可)．
21. (2020·黄冈)如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝
________°.
＝
答案不唯一，如4
30
22. (2020·衡阳)将一副三角尺按如图所示的方式摆放，且AB∥CD，则∠1的
度数为________．
第22题 第23题
23. (2020·泰州)如图，将分别含有30°，45°角的一副三角尺重叠，使直
角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为_______．
105°
140°
三、解答题
24. (2020·长春)图①②③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为
1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻
度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC.
要求：
(1) 在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③
中画一个锐角三角形；
(2) 三个图中所画的三角形的面积均不相等；
(3) 点C在格点上．
答案不唯一，如图所示
第24题
25. (2020·毕节)将一副直角三角尺(∠A＝∠FDE＝90°，∠F＝45°，∠C＝
60°，点D在边AB上)按图中所示位置摆放，两条斜边为EF，BC，且EF∥BC，
求∠ADF的度数．
如图，设CB与FD交点为G.∵ EF∥BC，∴ ∠F＝
∠BGD＝45°.又∵ ∠ADG是△BDG的外角，∴
∠ADG＝∠B＋∠BGD.∵ ∠B＝30°，∴ ∠ADG＝
∠B＋∠BGD＝30°＋45°＝75°，即∠ADF＝75°
第25题
2. 全等三角形
一、选择题
1. (2020·淄博)如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是( )
A. AC＝DE B. ∠BAD＝∠CAE
C. AB＝AE D. ∠ABC＝∠AED
2. (2020·永州)如图，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的
方法是 ( )
A. SAS B. AAS
C. SSS D. ASA
3. (2020·甘孜州)如图，在等腰三角形ABC中，点 D，E 分别在腰AB，AC上，
添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是 ( )
A. AD＝AE B. BE＝CD
C. ∠ADC＝∠AEB D. ∠DCB＝∠EBC
B
B
A
第2题
第3题
第1题
A
B
第5题
第4题
6. (2020·鄂州)如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，
∠AOB＝∠COD＝36°.连接AC，BD交于点M，连接OM.有下列结论：① ∠AMB＝
36°；② AC＝BD；③ OM平分∠AOD；④ MO平分∠AMD.
其中正确的结论有 ( )
A. 4个 B. 3个
C. 2个 D. 1个
7. (2020·天门)如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
BD，CE交于点F，连接AF.有下列结论：① BD＝CE；② BF⊥CF；③ AF平
分∠CAD；④ ∠AFE＝45°.其中正确的结论有 ( )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
B
C
第7题
第6题
C
第8题
二、填空题
9. (2020·北京) 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上(不与点B，C重合).
只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是____________
______________(写出一个即可)．
第9题 第10题 第11题
10. (2020·齐齐哈尔)如图，在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A，B，E
在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是_______
__________________(只填一个即可)．
11. (2020·农垦)如图，在 Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅
助线的情况下，请你添加一个条件_____________________________，使
Rt△ABC和Rt△EDF全等．
答案不唯一，
如BD＝CD
答案不唯一，如AB＝ED
答案不
唯一，如AD＝AC
12. (2020·怀化)如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，
则∠D＝________°.
第12题 第13题 第14题 第15题 第16题
13. (2020·湘潭)如图，P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA，垂足为D，且PD
＝3，M是射线OC上一动点，则PM的最小值为________．
14. (2020·十堰)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE＝3，△ABD
的周长为13，则△ABC的周长为________．
15. (2020·青海)如图，在△ABC中，AB＝AC＝14 cm，AB的垂直平分线MN交
AC于点D，且△DBC的周长是24 cm，则BC＝________cm.
16. (2020·江西)如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E.若
∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为________．
130
3
19
10
82°
三、解答题
17. (2020·吉林) 如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且BD＝CA，过
点D作DE∥AC，并截取DE＝AB，且点C，E在AB同侧，连接BE.求证：△DEB
≌△ABC.
18. (2020·铜仁)如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF.求证：△ABC≌△DEF.
第17题
第18题
19. (2020·南通)如图，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C.求证：
AB＝AC.
20. (2020·云南)如图，AD＝BC，BD＝AC.求证：∠D＝∠C.
21. (2020·昆明)如图，AC是∠BAE的平分线，D是线段AC上的一点，∠C＝
∠E，AB＝AD.求证：BC＝DE.
第19题
第20题
第21题
22. (2020·西藏)如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，AD＝AC，以线段AD
为边作△ADE，使得AE＝AB，∠BAE＝∠CAD.求证：DE＝CB.
23. (2020·南充)如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝
DE.求证：AB＝CD.
第22题
第23题
24. (2020·菏泽)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点 E在 AC 的延长线上，
ED⊥AB于点D.若BC＝ED，求证：CE＝DB.
25. (2020·镇江)如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E，F分别
在AB，BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF.
(1) 求证：∠D＝∠2；
(2) 若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．
第24题
第25题
26. (2020·黄石)如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°.
(1) 求∠DAE的度数；
(2) 若∠B＝30°，求证：AD＝BC.
第26题
27. (2020·常州)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，
AB＝CD.
(1) 求证：∠E＝∠F；
(2) 若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．
第27题
28. (2020·无锡)如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF.求证：
(1) △ABF≌△DCE；
(2) AF∥DE.
第28题
29. (2020·徐州)如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F.
(1) 求证：AE＝BD；
(2) 求∠AFD的度数．
第29题
30. (2020·宜宾)如图，在△ABC中，D是边BC的中点，连接AD并延长到点E，
使DE＝AD，连接CE.
(1) 求证：△ABD≌△ECD；
(2) 若△ABD的面积为5，求△ACE的面积．
第30题
31. (2020·鞍山)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在
AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD.
第31题
3. 等腰三角形
一、选择题
1. (2020·毕节)已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周
长为 ( )
A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 13或10
2. (2020·青海)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别
是 ( )
A. 55°，55° B. 70°，40°或70°，55°
C. 70°，40° D. 55°，55°或70°，40°
3. (2020·福建)如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于
( )
A. 10 B. 5
C. 4 D. 3
B
B
D
第3题
4. (2020·临沂)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD
的度数是 ( )
A. 40° B. 50°
C. 60° D. 70°
5. (2020·聊城)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，D是BC边上任意一
点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是 ( )
A. 120° B. 130°
C. 145° D. 150°
6. (2020·鞍山)如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长
为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连接AC，BC.若∠ABC＝54°，
则∠1的度数为 ( )
A. 36° B. 54°
C. 72° D. 73°
D
C
B
第5题
第6题
第4题
7. (2020·绵阳) 如图，在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，
∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD的度数是 ( )
A. 16° B. 28°
C. 44° D. 45°
8. (2020·苏州)如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针
方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′
的度数为 ( )
A. 18° B. 20°
C. 24° D. 28°
9. (2020·益阳)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB.
若∠A＝50°，则∠B的度数为 ( )
A. 25° B. 30°
C. 35° D. 40°
C
B
C
第8题
第9题
第7题
D
C
第11题
第10题
C
D
第13题
二、填空题
14. (1) (2020·齐齐哈尔)等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰
三角形的周长是__________；
(2) (2020·黔南州)已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则
它的周长为________．
15. (2020·滨州)在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的度数为
________．
16. (2020·青海)已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足(b－2)2＋|c－3|
＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，则△ABC的形状为________三角形．
17. (2020·恩施州)如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B
在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2的
度数为________．
10或11
22
80°
等腰
40°
第17题
18. (2020·常州)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.
若△AFC是等边三角形，则∠B＝________°.
第18题 第19题 第20题 第21题 第22题
19. (2020·襄阳)如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝
________°.
20. (2020·黄冈)如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，
则∠BAD＝________°.
21. (2020·阜新)如图，直线 a，b 过等边三角形ABC的顶点A和C，且 a∥b，
∠1＝42°，则∠2的度数为________．
22. (2020·宜昌)如图，在一个池塘两旁有一条笔直的小路(B，C为小路端点)
和一棵小树(A为小树位置)．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝
60°，BC＝48 m，则AC＝________m.
30
40
40
102°
48
23. (2020·台州)如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三
等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF
的周长是________．
第23题 第24题 第25题
24. (2020·南京)如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠1＝
39°，则∠AOC的度数为________．
25. (2020·十堰)如图，D是等边三角形ABC外一点．若BD＝8，CD＝6，连接
AD，则AD的最大值与最小值的差为________．
6
78°
12
三、解答题
26. (2020·内江)如图，点C，E，F，B在同一条直线上，点A，D在BC异侧，
AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D.
(1) 求证：AB＝DC；
(2) 若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．
第26题
27. (2020·大连)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，BD＝CE.求
证：∠ADE＝∠AED.
第27题
28. (2020·衡阳)如图，在 △ABC 中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1) 求证：DE＝DF；
(2) 若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
第28题
29. (2020·珠海)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BD＝CE，
∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：△ABC是等腰三角形．
30. (2020·台州)如图，AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O.
(1) 求证：△ABD≌△ACE；
(2) 判断△BOC的形状，并说明理由．
第29题
(1) ∵ 在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝
AE，∴ △ABD≌△ACE(SAS)
(2) △BOC是等腰三角形 理由：∵ △ABD≌△ACE，∴ ∠ABD＝
∠ACE.∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB.∴ ∠ABC－∠ABD＝∠ACB
－∠ACE，即∠OBC＝∠OCB.∴ BO＝CO.∴ △BOC是等腰三角形．
第30题
31. (2020·哈尔滨)在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，BD＝CE，连接AD，
AE.
(1) 如图①，求证：AD＝AE；
(2) 如图②，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点
F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中的四个等腰三角形，
使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°.
第31题
32. (2020·河池)(1) 如图①，CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2.求证：
△ACE≌△BCE.
(2) 如图②，CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4.探究AE与BE
的数量关系，并说明理由．
第32题
33. (2020·绍兴)问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E，
C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°.
思考：(1) 如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件
不变，那么∠DAC的度数会改变吗？请说明理由．
(2) 如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝
90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
第33题
34. (2020·烟台)如图，在等边三角形ABC中，E是边AC上一定点，点D是直线
BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF.
【问题解决】
如图①，若D在边BC上，求证：CE＋CF＝CD.
【类比探究】
如图②，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样
的数量关系，并说明理由．
第34题
4. 直角三角形与勾股定理
一、选择题
1. (2020·玉林)如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东 35°方向，
B岛在A岛的北偏东 80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三
岛组成一个 ( )
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等边三角形
2. (2020·鄂州)如图，a∥b，一块含45°角的直角三角尺的一个顶点落在其
中一条直线上．若∠1＝65°，则∠2的度数为 ( )
A. 25° B. 35°
C. 55° D. 65°
A
A
第2题
第1题
3. (2020·宁夏)如图摆放的是一副学用直角三角尺，∠F＝30°，∠C＝45°，
AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是 ( )
A. 135° B. 120°
C. 115° D. 105°
4. (2020·吉林)将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的度数为
( )
A. 85° B. 75°
C. 65° D. 60°
5. (2020·自贡)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆
心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是 ( )
A. 50° B. 40°
C. 30° D. 20°
D
D
B
第4题
第5题
第3题
A
B
第8题
第6题
B
9. (2020·盘锦)我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原
文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问
水深、葭长各几何？译为：有一个水池，水面是一个边长为 10尺的正方
形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水
池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的
长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为 ( )
A. x2＋102＝(x＋1)2
B. (x－1)2＋52＝x2
C. x2＋52＝(x＋1)2
D. (x－1)2＋102＝x2
B
第9题
10. (2020·南宁)《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开
门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：
如图①②(图②为图①的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2
寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺＝10寸)，则AB的长为 ( )
第10题
A. 50.5寸 B. 52寸
C. 101寸 D. 104寸
C
B
第11题
第12题
B
D
第13题
第14题
D
A
第15题
第16题
A
二、填空题
17. (2020·淮安)已知直角三角形的斜边长为16，则这个直角三角形斜边上
的中线长为________．
18. (2020·岳阳)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，
则∠BCD＝________°.
第18题 第19题
19. (2020·宿迁)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，
E为AB的中点．若BC＝12，AD＝8，则DE的长为________．
8
70
5
20. (2020·扬州)《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中
国传统数学的基本框架.如图所示为其中记载的一道“折竹”问题：“今
有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹
子原高1丈(1丈＝10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试
问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．
第20题 第22题
21. (2020·绥化)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB－AC＝2，BC＝8，则AB的
长是________．
22. (2020·雅安)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图
所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O. 若AD＝2，BC＝4，
则AB2＋CD2的值为________．
4.55
17
20
23. (2020·娄底)由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”
如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积(a－b)2与4个直角
三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2＋b2＝c2，还可以用来证明结论：
若a＞0，b＞0，且a2＋b2为定值，则当a________b时，ab取得最大值．
第23题 第24题
24. (2020·宁夏)2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国
古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中
间的小正方形拼成的一个大正方形(如图 ①)，且大正方形的面积是15，
小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b.如
果将四个全等的直角三角形按如图②的形式摆放，那么图②中最大的正
方形的面积为________．
＝
27
1
28. (2020·安顺) 如图，在△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，
CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为________．
第28题 第29题
29. (2020·通辽)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，
以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之
间的数量关系是_________________．PB2＋PA2＝2PC2
三、解答题
30. (2020·铁岭)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D为AB边
的中点，连接DC，过点D作DE⊥DC交AC于点E.求∠EDA的度数．
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴
∠A＝30°.∵ D为AB边的中点，∴ CD＝BD＝AD.∴
△BCD是等边三角形，∠ACD＝∠A＝30°.∴ ∠BDC
＝60°.∵ DE⊥DC，∴ ∠CDE＝90°.∴ ∠EDA＝
180°－∠CDE－∠BDC＝30°
第30题
31. (2020·温州)如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，
点A，C，D依次在同一条直线上，且AB∥DE.
(1) 求证：△ABC≌△DCE；
(2) 连接AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
第31题
32. (2020·安顺)如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，
以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1) 在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
(2) 在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边
长是无理数；
(3) 在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
(1) 如图①，△ABC即为所求
第32题
(2) 答案不唯一，如图②，
△ABC即为所求
(3) 答案不唯一，如图③，
△ABC即为所求
33. (2020·荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线交AC于点D，AE∥
BC交BD的延长线于点E，AF⊥AB交BE于点F.
(1) 若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数；
(2) 若AD＝DC＝2，求AF的长．
第33题
(1) ∵ ∠B＝∠APD＝90°，∴
∠BAP＋∠APB＝90°，∠APB＋
∠CPD＝90°.∴ ∠BAP＝∠CPD.
又∵ AP＝PD，∠B＝∠C＝90°，∴ △BAP≌△CPD(AAS)．∴ BP
＝CD，AB＝PC.∴ AB＋CD＝PC＋BP＝BC
第34题
35. (2020·随州)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称
之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则
弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦
图”(如图①)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1) ① 请叙述勾股定理；
② 勾股定理的证明，人们已经找到了400
多种方法，请从下列几种常见的证明方法
中任选一种来证明该定理 (图①②③均满
足证明勾股定理所需的条件)．
第35题
(2) ① 如图④⑤⑥，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、
半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1＋S2＝S3的有________个；
② 如图⑦，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图
中涂色部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的
关系并证明．
第35题
3
(3) 如果以正方形的一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两
直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图⑧所示的“勾股树”.
在如图⑨所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，
四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝
∠α，则当∠α变化时，回答下列问题(结果可用含m的式子表示)：
① a2＋b2＋c2＋d2＝________；
② b与c的关系为________，a与d的关系为___________．
第35题
m2
b＝c a＋d＝m
5. 尺规作图
B
2. (2020·宜昌)如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知
道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是 ( )
A. l是线段EH的垂直平分线
B. l是线段EQ的垂直平分线
C. l是线段FH的垂直平分线
D. EH是l的垂直平分线
3. (2020·河池)观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线的是
( )
A B C D
A
第2题
B
4. (2020·衢州) 过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的
是 ( )
A B C D
5. (2020·通辽)根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是
( )
A B C D
D
B
B
B
C
第9题
D
C
第10题
D
第11题
A
第12题
D
第13题
13
27
12
5
55
32
三、解答题
21. (2020·陕西)如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°.请用尺规作图法，
在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°(保留作图痕迹，不写作法)．
如图，点P即为所求
第21题
22. (2020·衢州)如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1) 在图①中画出一个以AB为边的▱ ABDE，使顶点D，E在格点上；
(2) 在图②中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l(至少经过两个格点).
(1) 如图①，平行四边形ABDE
即为所求(点D的位置还有6种
情形可取)
(2) 如图②，直线l即为所求
第22题
答案不唯一，如(1) 如图①，线
段EF和线段GH即为所求
(2) 如图②，线段MN和线段PQ即
为所求 第23题
(1) 如图，正方形ABEF即为所求
第24题
25. (2020·青岛)已知：△ABC.求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O
在∠A的平分线上．
如图，⊙O即为所求
第25题
(1) 如图①，直线l、⊙O即为所求
第26题
27. (2020·达州)如图，点O在∠ABC的边BC上，以OB为半径作⊙O，∠ABC的
平分线BM交⊙O于点D，过点D作DE⊥BA于点E.
(1) 尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)，补全图形；
(2) 判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由．
(1) 如图，⊙O、射线BM、直线DE即为所求
第27题
(2) ⊙O与DE只有一个交点 理由：∵ OB＝OD，∴ ∠ODB＝
∠OBD.∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD＝∠OBD.∴ ∠ODB＝∠ABD.∴
OD∥AB.∵ DE⊥AB，∴ DE⊥OD.∴ 直线DE是⊙O的切线．∴ ⊙O
与直线DE只有一个交点．
28. (2020·福建)如图，C为线段AB外一点．
(1) 求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB(要求：尺规作图，不写
作法，保留作图痕迹)；
(2) 在(1)的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，
N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．
(1) 如图①，四边形ABCD即为所求
第28题
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