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2021 年中考九年级数学专题复习过关训练：四边形 综合型压轴题
1、如图，▱ABCD 中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F 分别是 AB，CD 上的点，且 BE=DF，连
接 EF 交 BD 于 O．
（1）求证：BO=DO；
（2）若 EF⊥AB，延长 EF 交 AD 的延长线于 G，当 FG=1 时，求 AD 的长．
2、如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F 分别在 OD、OC 上，且
DE=CF，连接 DF、AE，AE 的延长线交 DF 于点 M．
求证：AM⊥DF．
3、在▱ ABCD 中，P 是 AB 边上的任意一点，过 P 点作 PE⊥AB，交 AD 于 E，连结 CE，
CP．已知∠A=60°；
（1）若 BC=8，AB=6，当 AP 的长为多少时，△CPE 的面积最大，并求出面积的最大值．
（2）试探究当△CPE≌△CPB 时，▱ ABCD 的两边 AB 与 BC 应满足什么关系？
4、已知：如图 9，正方形 ABCD 中，P 是边 BC 上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是 E、
F．
(1)求证：EF=AE–BE；(2)连接 BF，如果
BF
AF
AD
DF ，求证：EF=EP．
5、如图，在▱ ABCD 中，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 是边 CD 的中点，点 F 在
BC 的延长线上，且 CF= BC，求证：四边形 OCFE 是平行四边形．
6、如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 平分 BAD ，交 BC 于点 E ，BF 平分 ABC ，交 AD
于点 F ， AE 与 BF 交于点 P ，连接 EF ， PD .
（1）求证：四边形 ABEF 是菱形；
（2）若 4AB ， 6AD ， 60ABC ，求 tan ADP 的值.
7、如图 1，2,已知四边形 ABCD 为正方形,在射线 AC 上有一动点 P，作 PE⊥AD(或延长线)
于 E，作 PF⊥DC(或延长线)于 F，作射线 BP 交 EF 于 G.
（1）在图 1 中,设正方形 ABCD 的边长为 2, 四边形 ABFE 的面积为 y, AP= x ，求 y 关于 x 的
函数表达式．
（2）结论 GB⊥EF 对图 13，图 14 都是成立的，请任选一图形给出证明；
（3）请根据图 14 证明：△FGC∽△PFB．
8、在正方形 ABCD 外侧作直线 AP ，点 B 关于直线 AP 的对称点为 E ，连接 BE DE， ，其中
DE 交直线 AP 于点 F ．
（1）依题意补全图 1；
（2）若 20PAB ，求 ADF 的度数；
（3）如图 2，若 45 90PAB ，用等式表示线段 AB FE FD， ， 之间的数量关系，并
证明．
9、如图，矩形 ABCD 中，AB=20，BC=10，点 P 为 AB 边上一动点，OP 交 AC 于点 Q．
（1）求证：△APQ∽△CDQ；
（2）P 点从 A 点出发沿 AB 边以每秒 1 个单位长度的速度向 B 点移动，移动时间为 t 秒．
①当 t 为何值时，DP⊥AC？
②设 S△APQ+S△DCQ=y，写出 y 与 t 之间的函数解析式，并探究 P 点运动到第几秒到第几秒
之间时，y 取得最小值．
10、如图，在边长为 3 的正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且
EP 交正方形外角的平分线 CP 于点 P，交边 CD 于点 F，
（1） 的值为 ；
（2）求证：AE=EP；
（3）在 AB 边上是否存在点 M，使得四边形 DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；
若不存在，请说明理由．
11、分别以□ ABCD（ CDA 90°）的三边 AB，CD，DA 为斜边作等腰直角三角形，△ABE，
△CDG，△ADF.
（1）如图 1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接 GF，EF．请判断 GF
与 EF 的关系（只写结论，不需证明）；
（2）如图 2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接 GF，EF，(1)中结论
还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.
12、如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，点 O 为对角线 BD 的中点，点 P 从点 A 出发，
沿折线 AD﹣DO﹣OC 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 C 运动，当点 P 与点 A 不重合时，
过点 P 作 PQ⊥AB 于点 Q，以 PQ 为边向右作正方形 PQMN，设正方形 PQMN 与△ABD 重
叠部分图形的面积为 S（平方单位），点 P 运动的时间为 t（秒）．
（1）求点 N 落在 BD 上时 t 的值；
（2）直接写出点 O 在正方形 PQMN 内部时 t 的取值范围；
（3）当点 P 在折线 AD﹣DO 上运动时，求 S 与 t 之间的函数关系式；
（4）直接写出直线 DN 平分△BCD 面积时 t 的值．
A
BC
D
G
F
E
图 1 A
BC
D
G
F E
图 2
13、菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O， 4 3, 4AC BD ,动点 P 在线段 BD 上从
点 B 向点 D 运动，PP′⊥AB 于点 P′，四边形 PFBG 关于 BD 对称。四边形 QEDH
与四边形 PFBG 关于 AC 对称，设菱形 ABCD 被这两个四边形盖住部分的面积为 1S ，
未盖住部分的面积为 2S , BP x .
（1）用含 x 代数式分别表示 1S 2S ;
（2）若 1 2S S ,求 x.
14、如图，BD 是正方形 ABCD 的对角线，BC=2，边 BC 在其所在的直线上平移，将通过
平移得到的线段记为 PQ，连接 PA、QD，并过点 Q 作 QO⊥BD，垂足为 O，连接 OA、
OP.
（1）请直接写出线段 BC 在平移过程中，四边形 APQD 是什么四边形？
（2）请判断 OA、OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
（3）在平移变换过程中，设 y= OPBS ，BP=x（0≤x≤2），求 y 与 x 之间的函数关系式，并
求出 y 的最大值.
15、矩形纸片 ABCD 中，AB=5，AD=4.
（1）如图 1，四边形 MNEF 是在矩形纸片 ABCD 中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形
中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；
（2）请用矩形纸片 ABCD 剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图 2 的矩形 ABCD 中画
出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在
网格的格点上）.
16、如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC=6cm,BD=8cm，动点 P，Q
分别从点 B，D 同时出发，运动速度均为 1cm/s，点 P 沿 B→C→D 运动，到点 D 停止，点
Q 沿 D→O→B 运动，到点 O 停止 1s 后继续运动，到 B 停止，连接 AP，AQ，PQ.设△APQ
的面积为 y（cm2）（这里规定：线段是面积 0 的几何图形），点 P 的运动时间为 x（s）.
（1）填空：AB= cm,AB 与 CD 之间的距离为 cm；
（2）当 4≤x≤10 时，求 y 与 x 之间的函数解析式；
（3）直接写出在整个运动过程中，使 PQ 与菱形 ABCD 一边平行的所有 x 的值.
17、 已 知 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 1， 点 P 为 正 方 形 内 一 动 点 ， 若 点 M 在 AB
上 ， 且 满 足 △PBC∽△PAM， 延 长 BP 交 AD 于 点 N， 连 结 CM．
（ 1） 如 图 一 ， 若 点 M 在 线 段 AB 上 ， 求 证 ： AP⊥BN； AM=AN；
（ 2）①如 图 二 ，在 点 P 运 动 过 程 中 ，满 足 △PBC∽△PAM 的 点 M 在 AB 的 延
长 线 上 时 ， AP⊥BN 和 AM=AN 是 否 成 立 ？ （ 不 需 说 明 理 由 ）
②是 否 存 在 满 足 条 件 的 点 P， 使 得 PC= ？ 请 说 明 理 由 ．
18、已知,矩形 ABCD 中, 4AB cm , 8BC cm , AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD 、BC 于点
E 、 F ,垂足为O .
(1)如图 1,连接 AF 、 CE .求证四边形 AFCE 为菱形,并求 AF 的长；
(2)如图 2,动点 P 、 Q 分别从 A 、 C 两点同时出发,沿 AFB 和 CDE 各边匀速运动一周.
即点 P 自 A → F → B → A 停止,点 Q 自C → D → E → C 停止.在运动过程中,
①已知点 P 的速度为每秒 5 cm ,点 Q 的速度为每秒 4 cm ,运动时间为 t 秒,当 A 、C 、P 、Q
四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t 的值.
②若点 P 、 Q 的运动路程分别为 a 、b (单位: cm , 0ab ),已知 A 、C 、 P 、Q 四点为顶
点的四边形是平行四边形,求 a 与b 满足的数量关系式.
19、已知正方形 ABCD ，点 M 为边 AB 的中点.
（1）如图 1，点G 为线段CM 上的一点，且 90AGB ，延长 AG ，BG 分别与边 BC ，
CD 交于点 E ， F .
①求证： BE CF ；
②求证： 2BE BC CE .
（2）如图 2，在边 BC 上取一点 E ，满足 2BE BC CE ，连接 AE 交CM 于点G ，连接
BG 延长交CD 于点 F ，求 tan CBF 的值.
20、【试题背景】
已知：∥ m ∥ n ∥，平行线与 m 、m 与 n 、n 与之间的距离分别为 d 1、d 2、d 3，且 d 1 = d 3
= 1， d 2 = 2 . 我们把四个顶点分别在、 m 、 n 、这四条平行线上的四边形称为“格
线四边形”.
【探究 1】 ⑴ 如图 1，正方形 ABCD 为“格线四边形”， BE l 于点 E , BE 的反向延长
线交直线于点 F . 求正方形 ABCD 的边长.
【探究 2】 ⑵ 矩形 ABCD 为“格线四边形”，其长 ：宽 = 2 ：1 ，则矩形 ABCD 的宽
为____. (直接写出结果即可)
【探究 3】 ⑶ 如图 2，菱形 ABCD 为“格线四边形”且∠ ADC =60°，△ AEF 是等边三
角形， AE k 于点 E ， ∠ AFD =90°，直线 DF 分别交直线、于点G 、 M . 求
证： EC DF .
【拓 展】 ⑷ 如图 3，∥，等边三角形 ABC 的顶点 A 、B 分别落在直线、上，AB k 于
点 B ， 且 AB =4 ，∠ ACD =90°，直线CD 分别交直线、于点G 、M ，点 D 、E 分
别是线段GM 、 BM 上的动点，且始终保持 AD = AE ， DH l 于点 H .
猜想：DH 在什么范围内，BC ∥ DE ？并说明此时 BC ∥ DE 的理由.
21、如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板 Rt△ABC 与 Rt△ADC 拼在一起，使
斜边 AC 完全重合，且顶点 B，D 分别在 AC 的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，
AB=BC=4cm.
（1）填空：AD= (cm)，DC= (cm)；
（2）点 M，N 分别从 A 点，C 点同时以每秒 1cm 的速度等速出发，且分别在 AD，CB 上沿
A→D，C→B 的方向运动，当 N 点运动 到 B 点时，M，N 两点同时停止运动，连结 MN，
求当 M，N 点运动了 x 秒时，点 N 到 AD 的距离(用含 x 的式子表示)；
（3）在（2）的条件下，取 DC 中点 P，连结 MP，NP，设△PMN 的面积为 y(cm2)，在整个
运动过程中，△PMN 的面积 y 存在最大值，请求出这个最大值.
(参考数据：sin75°= 6 2
4
，sin15°= 6 2
4
)
22、如图 1，在菱形 ABCD 中，AB＝6 5 ，tan∠ABC＝2，点 E 从点 D 出发，以每秒 1 个
单位长度的速度沿着射线 DA 的方向匀速运动，设运动时间为 t(秒).将线段 CE 绕点 C
顺时针旋转一个角α(α＝∠BCD)，得到对应线段 CF.
(1)求证：BE＝DF；
(2)当 t＝ 秒时，DF 的长度有最小值，最小值等于 ；
(3)如图 2，连接 BD，EF，BD 交 EC，EF 于点 P、Q，当 t 为何值时，△EPQ 是直角三角形？
(4)如图 3，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转一个角α(α＝∠BCD)，得到对应线段 CG.在点 E 的
运动过程中，当它的对应点 F 位于 AD 上方时，直接写出点 F 到直线 AD 的距离 y 关于
时间 t 的函数表达式.
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