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九年级上下册圆综合
圆 章 节 复 习 习 题 课
例1.如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆与D,∠ABC
的平分线交AD于点E.
(1)求证：DE=DB.
1.观察图中DE与DB的位置，
应选择什么方法证线段相等？
分析：
在同一三角形中，“等角对等边”
即只需证明∠DBE=∠DEB
例1.如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆与点
D,∠ABC的平分线交AD于点E.
(1)求证：DE=DB.
2.题中角平分线的作用是什么？
提供相等的角
∠DEB=
∠DBE=
+
+
得到∠DBE=∠DEB
∴DE=DB.
注意“同弧所对
的圆周角相等”
的运用
(2)若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径.
∵∠BAC=90°,
∴BC是⊙O的直径
∴∠BDC=90°,
∵∠BAD=∠CAD,
∴CD=BD=4
2444 22 BCBDCRt 中，在
22242
1 的外接圆半径为ABC
解：连接CD.
例2.如图，△ABC内接与⊙O,AB=AC,CO的延长线交AB与点D.
(1)求证：AO平分∠BAC
方法一： ≌
方法二：
三线合一
例2.如图，△ABC内接与⊙O,AB=AC,CO的延长线交AB与点D.
(1)求证：AO平分∠BAC
方法三： 外心
例2.如图，△ABC内接与⊙O,AB=AC,CO的延长线交AB与点D.
.,,5
3sin6)2( 的长求，若 CDACBACBC
分析： ？如何运用
5
3sin.1 BAC
需将∠BAC或与∠BAC相等的角
放到直角三角形中
2.求线段长常用的方法有哪些？
勾股、相似、三角函数、面积...
例2.如图，△ABC内接与⊙O,AB=AC,CO的延长线交AB与点D.
.,,5
3sin6)2( 的长求，若 CDACBACBC
E
10339 2222 CDAEAC
分析：
5
3sin BAC
延长AO交BC于点E
由题可知，OE⊥BC
在Rt△OEC中，由
∠EOC=2∠OAC=∠BAC
CE=3
可得，OC=5，OE=4
∴AE=4+5=9
F
DF
OD
BF
AO
△AOD∽△BFD
x
x
58
5即
13
25x
13
90
13
255 CD
延长CD交⊙O于点F,连接BF
注意辅助线的做法：
例3.如图，AB是⊙O的直径，D,E为⊙O上位于AB异侧
的两点，连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交
A⊙O于点F,连接AE,DE,DF.
(1)证明：∠AED=∠C.
∠AED=∠B
分析：
转化为证明∠B=∠C
方法一： 连接AD,
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90° 又CD=BD
∴AD垂直平分BC
∴AC=AB
∴∠C=∠B
∵∠B,∠AED同对弧AD
∴∠AED=∠B
∴∠AED=∠C
方法二：连接OD,
∵CD=BD,AO=BO
∴OD是△ABC的中位线
∴OD∥AC
∴∠C=∠BDO
∵OB=OD
∵∠B,∠AED同对弧AD
∴∠AED=∠B ∴∠AED=∠C
∴∠BDO=∠B
方法三：
连接BF,
由“圆内接四边形的外角等于其内对角”得，
∠ABC=∠CFD
由“直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半”得，DF=DC
由“同弧所对的圆周角相等”得，
∠AED=∠B
∴∠CFD=∠C
(2)若∠AED=55°,求∠BDF的度数.
55°
55°
55°
70°
方法一：
∠B=∠C=∠AED=55°
则∠BAC=180°-55°-55=70°
∴∠BDF=180°-70°=110°
(2)若∠AED=55°,求∠BDF的度数.
55°
55°
55°
55°
方法二：
∠B=∠C=∠AED=∠DFC=55°
∴∠BDF=55°+55°=110°
(3)设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=2/3,E是
弧AB的中点，求EG·ED的值.
G
DF=4
cosB=2/3
E是弧AB的中点
等腰Rt△AEB
△BEG∽△DEB
26.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，点G
为对角线交点，顶点A在x轴上，顶点C的坐标为（0,6），∠COB=30°，
以OC上一点P为圆心，以1.5为半径的圆与OB相切于点D.
(1)求点P的坐标.
30°
①
② ③
① GC=GB=GA=GO
② OC=6
③ 将∠COB放到Rt△中
PD⊥OB
在Rt△PDO中，OP=2PD=3
∴P(0，3)
(2)判断AC与⊙P的位置关系.
30°
M
解：AC与⊙P相切.
过点P作PM⊥AC于点M.
∵四边形OABC是矩形.
∴GC=GD.
∴∠1=∠COB=30°.
1
在Rt△CMP中
PC=OC-OP=3
∴PM=PC÷2=1.5
∴PM为⊙P的半径
又PM⊥AC.
∴AC与⊙P相切.
∵d=PM=1.5
r=1.5
∴d=r
∴AC与⊙P相切
(3)已知点E为⊙P与PC的交点，求DE的长.
30°
N
在圆中，DE是弦，求弦长有哪些常用的方法？.
①垂径定理，先求弦的一半
②直径所对的圆周角，直接求弦.
1
Q
过点P作PN⊥DE于点N
2
33,4
33 DEEN 则求得
连接QD
2
33 DEPDORt 中，直接求出在
同学们再见
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