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江苏省徐州市2021届高三数学5月考前模拟（打靶卷）试题（Word版附答案）

2021-05-31
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1 徐州市 2021 届高三下学期 5 月考前模拟（打靶卷）数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 2{ | 6 0}A x x x    ， 2{ | log ( 2) 1}B x x   ，则 ( )A B R ð A． ( 2,3) B． (2,3) C．[3,4) D． ( ,2] [3, )  2．若纯虚数 z 满足 ( )i 2 iz m   (其中i 为虚数单位， m 为实数)，则 m  A． 2 B． 1 C．1 D． 2 3． 2 52( )x x  展开式中含 4x 项的系数是 A．40 B．10 C．－40 D．－10 4．已知函数 ln , 0 1,( ) 2 ( 1), 1, x xf x f x x     ≤ 则 7( )2f  A． 16ln 2 B．16ln 2 C． 8ln 2 D． 32ln 2 5．已知 a 与 b 均为单位向量，若 b⊥(2a＋b)，则 a 与 b 的夹角为 A．30° B．45° C．60° D．120° 6．函数 2 sin πy x x 的大致图象为 A B C D 7．对于数据组 ( , )i ix y ( 1,2,3, ,i n  )，如果由线性回归方程得到的对应于自变量 ix 的估计值是 iy ，那么将 i iy y 称为相应于点 ( , )i ix y 的残差．某工厂为研究某种产品产量 x (吨)与所需某种原材料 y (吨)的相关性，在生产过程中收集 4 组对应数据 ( , )x y 如下表所示： 2 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 m 根据表中数据，得出 y 关于 x 的线性回归方程为  0.7y x a  ，据此计算出样本 (4,3) 处的残差为 0.15 ，则表中 m 的值为_210084 A．3.3 B． 4.5 C． 5 D．5.5 8．已知 F 是双曲线 22 2 2 1yx a b   的左焦点，圆 2 2 2 2:O x y a b   与双曲线在第一象限的交点为 P ，若 PF 的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是 A． 5 B．2 C． 3 D． 5 2 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。 9．已知 ，  是两个不同的平面， m ， n ，l 是三条不同的直线，则下列命题中正确的是 A．若 m  ， n  ，则 m ∥ n B．若  ， m  ， n  ，则 m n C．若 l   ， m ∥ ， m ∥  ，则 m ∥l D．若 l   ， m  ， m l ，则 m  10．已知某校有 1200 名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成-sa;;kf绩 X 近似服从正态分布 (100 225)N ，，则下列说法正确的有（参考数据：① ( ) 0.6827P X      ≤ ； ② ( 2 2 ) 0.9545P X      ≤ ； ③ 3 3 0 9( ) . 973P X      ≤ ） A．这次考试成绩超过 100 分的约有 500 人 B．这次考试分数低于 70 分的约有 27 人 C． (115 130) 0.0514P X ≤ D．从中任取 3 名同学，至少有 2 人的分数超过 100 分的概率为 1 2 11．已知函数 π( ) sin(2 )4f x x  与 ( ) cos(2 )4g x x   ，则下列结论正确的是 A． ( )g x 的图象可由 ( )f x 的图象向左平移 2  个单位长度得到 B． ( )f x 的图象与 ( )g x 的图象相邻的两个交点间的距离为 C． ( ) g( )f x x 图象的一条对称轴为 2x  2 +8 2  3 D． ( ) g( )f x x 在区间 ( , )4 2   上单调递增_84 12．数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，心形曲线 C： 2 2 | | 1x y x y   就是其中之一，则下列结论中正确的是 A．曲线 C 关于 y 轴对称 B．曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C．曲线 C 上存在到原点的距离超过 2 的点 D．曲线 C 所围成的区域的面积大于 3 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知 tan( ) 2   ， 1tan( ) 2    ， π(0, )2   ，则 tan  的值为． 14．已知抛物线 C 的焦点为 F，过 F 的直线与抛物线 C 交于 A，B 两点，若 1 1 2AF BF   ，则符合条件的抛物线 C 的一个方程为． 15．若数列{ }na 对任意正整数 n ，有 n m na a q  (其中 *mN ，q 为常数， 0q  且 1q  )，则称数列{ }na 是以 m 为周期，以 q 为周期公比的类周期性等比数列．已知类周期性等比数列{ }nb 的前 4 项为 1，1，2， 3，周期为 4，周期公比为 3，则数列{ }nb 前 21 项的和为． 16．已知球的直径 4AB  ，C ，D 是球面上的两点，且 2CD  ，若 ABC ABD   ，则三棱锥 A BCD 的体积的最大值是________．四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 10 分）在平面四边形 ABCD 中， 8AB  ， 14AC  ， 5cos 7BAC  ，内角 B 与 D 互补，若 AC 平分 BAD ，求 CD 的长． 4 18．（本小题满分 12 分）已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 1n na S  ， n N ，数列{ }nb 满足 2logn nb a  ．（1）求数列 na 的通项公式；（2）设 2 2 1 n n n n n a bc b b     ，数列{ }nc 的前 n 项和为 nT ，求证： 1 4nT  ． 19．（本小题满分 12 分）天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球 32.6 光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的 10 颗最亮恒星的相关数据，其中 [0,1.3]a . 星名天狼星老人星南门二大角星织女一五车二参宿七南河三水委一参宿四* 视星等 1.47 0.72 0.27 0.04 0.03 0.08 0.12 0.38 0.46 a 绝对星等 1.42 5.53 4.4 0.38 0.6 0.1 6.98 2.67 2.78 5.85 赤纬 16.7  52.7  60.8  19.2 38.8 46 8.2  5.2 57.2  7.4 （1）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；（2）已知徐州的纬度是北纬34 ，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于 56  时，能在徐州的夜空中看到它．现从这10 颗恒星中随机选择 4 颗，记其中能在徐州的夜空中看到的数量为 X 颗，求 X 的分布列和数学期望；（3）记 0a  时10 颗恒星的视星等的方差为 2 1s ，记 1.3a  时10 颗恒星的视星等的方差为 2 2s ，直接写出 2 1s 与 2 2s 之间的大小关系． 5 20．（本小题满分 12 分）如图，已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2， E 是 1DD 的中点．设平面 1 1ABB A 与平面 1ACE 的交线为 l．（1）求证： //l 平面 ACE ；（2）求二面角 1B CA E  的大小． 21．（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E ： 2 2 2 2 1x y a b   ( 0)a b  的四个顶点围成的四边形的面积为 4 3 ，左、右焦点分别为 1F ， 2F ，且 1 2 2F F  . （1）求椭圆 E 的标准方程；（2）过 2F 的直线l 与椭圆 E 相交于 A B, 两点， 1ABF△ 的内切圆 C 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l 的方程，若不存在，请说明理由． 22．（本小题满分 12 分）已知函数 2 1( ) ln ( 1) ( )2 af x x x ax     R ．（1）当 1a   时，求曲线 ( )y f x 的过原点的切线方程；（2）当 1x  时， 1 1( ) exf x  ，求 a 的取值范围． 6 高三年级数学试题参考答案及评分标准一、选择题： 1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．D 7．B 8．A 二、选择题： 9．AC 10．BD 11．BCD 12．ABD 三、填空题： 13． 1 3 14．满足焦准距为 1 即可，如 2 2y x 15．1090 16． 4 3 3 四、解答题： 17．在 ABC△ 中，由余弦定理得， 2 2 2 cosBC AB AC AB AC BAC     2 2 58 14 2 8 14 107        ，…2 分由 5cos 7BAC  可得， 2 25 2 6sin 1 cos 1 ( )7 7BAC BAC       ，由正弦定理得， 14 2 6 2 6sin sin 10 7 5 ACB BACBC      ，……………………6 分又内角 B 与 D 互补，所以 2 6sin sin 5D B  ，因为 AC 平分 BAD ，所以 2 6sin sin 7DAC BAC    ，所以由正弦定理得， 14 2 6sin 10sin 72 6 5 ACCD DACD      ．………………10 分 18．（1）因为 1n na S  ，所以当 1n  时有， 12 1a  ，即 1 1 2a  ，当 2n≥ 时有， 1 1 1n na S   ，所以 1 1 0n n n na a S S     ，即 1 1 2n na a  ，所以 na 是首项为 1 1 2a  ，公比为 1 2 的等比数列，所以 11 1 1( ) ( )2 2 2 n n na    ．……………………………………………………4 分（2）由 2logn nb a  得， 2 1log ( )2 n nb n   ，又 2 2 1 n n n n n a bc b b     ，所以 2 1 2 1 1 1[ ]( 1) 2 2 2 ( 1) 2n n n n nc n n n n         ，……………………………8 分所以 1 2 3n nT c c c c     1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) [ ]2 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 4 2 2 2 ( 1) 2n nn n                  1 1 2 1 1 1 1 1[ ]2 1 2 ( 1)2 4 ( 1) 2n nn n        ，…………………………………10 分由 n N 可知， 2 1 0( 1) 2nn    ，所以 1 4nT  ．……………………………12 分 19．（1）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件 A . 由图表可知，10 颗恒星有 5 颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值. 7 所以 5 1( ) 10 2P A   ．…………………………………………………………3 分（2）由图表知，有8颗恒星的“赤纬”数值大于 56  ，有 2 颗恒星的“赤纬”数值小于 56  . 所以随机变量 X 的所有可能取值为： 2,3,4.……………………4 分 2 2 8 2 4 10 C C 28 14( 2) C 210 105P X     ， 3 1 8 2 4 10 C C 112 56( 3) C 210 105P X     ， 4 0 8 2 4 10 C C 70 1( 4) C 210 3P X     . ………………………………………………7 分所以随机变量 X 的分布列为：所以 14 56 1 336 16( ) 2 3 4105 105 3 105 5E X         .……………………………10 分（3） 2 2 1 2s s . …………………………………………………………………………12 分 20．（1）在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，平面 1 1 //CDD C 平面 1 1ABB A ，又因为平面 1 1ABB A  平面 1ACE ＝l，平面 1 1CDD C  平面 1ACE CE ，所以 //l CE ， ………………………………………………………………………2 分又因为 l  平面 ACE ， CE  平面 ACE ，所以 //l 平面 ACE ．………………4 分（2）以 A 为坐标原点，分别以 AB ， AD ， 1AA 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ， (2,0,0)B ， (2,2,0)C ， 1(0,0,2)A ， (0,2,0)D ， (0,2,1)E ．设平面 1BCA 的法向量为 1 1 1 1( , , )x y zn ，由已知得， 1 (2,0, 2)A B   ， 1 (2,2 2)AC  ，- ，由 1 1 1 1 0 0 A B AC        ，， n n 得 1 1 1 1 1 2 2 0 2 2 2 0. x z x y z       ，不妨取 1 1x  ，则 1 10 1y z ，，从而平面 1BCA 的一个法向量为 1 (1,0,1)n ．…………6 分设平面 1A CE 的法向量为 2 2 2 2( , , )x y zn ， ( 2,0,1)CE   ，由 2 1 2 0 0 AC CE        ，， n n 得 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0. x z x y z        ，不妨取 2 1z  ，则 2 2 1 1 2 2x y ，，所以平面 1A CE 的一个法向量为 2 1 1( , ,1)2 2 n ．……………………………………8 分则 1 2 1 2 1 2 1 +1 32cos , | || | 232 2      n nn n n n ，又因为 1 2, [0,π] n n ，所以 1 2 π, 6  n n ，……………………………………10 分由图形可知，二面角 1B CA E  的大小为 5π 6 ．…………………………………12 分 X 2 3 4 P 14 105 56 105 1 3 A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z l x y F2 A B OF1 8 21．（1）依题意有 2 2 2 1 2 2 4 3,2 2 2, , a b c a b c           解得 2, 3, a b   所以椭圆 E 的标准方程是 2 2 14 3 x y  ．…………………………………………4 分（2）如图，设 1ABF△ 内切圆C 的半径为 r ，则 1ABF△ 的面积 1 1 1 1 (| | | )2 | | |ABFS AB AF BF r   △ 1 2 1 2 1[(| |) (| | || | |)] 2 42 AF AF BF BF r ar r      ，当 1ABFS△ 最大时， r 也最大， 1ABF△ 内切圆的面积也最大．…………………6 分设直线l 的方程为 1x my  ，由 2 2 1, 14 3 x my x y     得 2 2(3 4) 6 9 0m y my    ，设 1 1 2 2 1 2( , ), ( , )) 0, 0(A x y B x y y y  ，则可解得 2 2 1 22 2 3 6 1 3 6 1,3 4 3 4 m m m my ym m         ，……………………………………8 分 1 1 2 1 221 2 1 1 1| | | | | |2 2| |ABFS F F y F F y y y     △ 2 2 12 1 3 4 m m   ，…………………10 分令 2 1t m  ，则 1t≥ ，且 2 2 1m t  ，则有 1 2 12 12 13( 1) 4 3 ABF tS t t t     △ ，令 1( ) 3f t t t   ，则 2 1'( ) 3f t t   ，当 1t≥ 时， '( ) 0f t  ， ( )f t 在[1, ) 上单调递增，有 (( 4) 1)ff t ≥ ， 1 12 34ABFS ≤△ ，即当 1, 0t m  时， 4r 有最大值 3 ，得 max 3 4r  ，此时所求内切圆的面积为 9 16  ，所以存在直线 : 1l x  ，使得 1ABF△ 的内切圆 C 的面积最大值为 9 16  .……………………………………………………………………12 分 22．（1）当 1a   时， 21 1( ) ln ( 1)2f x x x x     ， 3 2 2 1 1 1( ) xf x x x x x x        ，设切点为 0 0( , ( ))x f x ，则切线方程为 3 0 0 0 02 0 1( ) ( )xxy x x f xx     ，代入原点坐标，得 3 20 0 0 0 02 0 0 1 1 10 ( ) ln ( 1)2 x x xx xx x        ，即 2 0 0 0 2 1 3ln 02 2x xx     ．…………………………………………………3 分令 22 1 3( ) ln 2 2g x x xx     ， 0x  ， 3 2 2 1 2 2( ) 0x xg x xx x x         ，所以 ( )g x 是 (0, ) 上的减函数，又 (1) 0g  ，所以方程 2 0 0 0 2 1 3ln 02 2x xx     有唯一根 0 1x  ，因此曲线 ( )y f x 的过原点的切线方程为 y x ．…………………………5 分 9 （2）设 1( ) exu x x  ， (1, )x  ，则 1( ) e 1 0xu x     ，所以 ( )u x 在 (1, ) 单调递增，所以 ( ) (1) 0u x u  ，令 1 1 1 1 1 e( ) e e x x x xh x x x       ， (1, )x  ，则 ( ) 0h x  ．…………………7 分令 2( ) ( 1) ln2 ax x x    ， (1, )x  ，则 21 1( ) axx ax x x      ， ①当 0a≤ 时， ( ) 0x  ，所以 ( )x 在 (1, ) 单调递减，所以 ( ) (1) 0x   ，此时， 2 1 1 1 0 ( 1) lne 2x a x xx      ，不符合题意；………………………8 分 ②当 0 1a  时， ( )x 在 1(1, )a 上单调减，在 1( , )a  上单调增，所以在区间 1(1, )a 上有 ( ) (1) 0x   ，不符合题意；……………………9 分 ③当 1a≥ 时，设 2 1 1 1( ) ( 1) ln2 ex aF x x x x      ，由 ( ) 0h x  可知， 1 1 1 ex x   ，所以 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 ( 1)( 1)( ) 0ex x xF x ax xx x x x x x            ，所以 ( )F x 在 (1, ) 上单调递增，又 (1) 0F  ，所以 1x  时， ( ) 0F x  ，即 1 1( ) exf x  ．故 a 的取值范围为[1, ) ．…………………………………………………12 分 10 查看更多

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