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江苏省扬州市2021届高三数学5月考前调研试卷（Word版附答案）

2021-05-31
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扬州市 2021 届高三考前调研测试试题数学 2021.05 注意事项： 1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等信息用黑色墨水签字笔填写在答题卡的相应位置．一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一项符合要求)． 1．设全集  2| lg(2 )U x y x x   ，集合  | 2 , 0xA y y x   ，则 U A =ð （） A．[1, ) B． (0,1] C． [1,2) D． ( ,1] 2．若(3 )(2 )i xi y   ，其中 ,x y R ,i 为虚数单位，则复数 x yi 在复平面内对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在 ABC 中, 6, 8, 10, 2 ,AB AC BC BC DB     则 AD BC   （） A. 86 B. 86 C. 7 D. 7 4．现有《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》各一本，分给甲、乙、丙、丁、戊5名同学，每人一本，若甲乙都没有拿到《诗经》，且乙也没拿到《春秋》，则所有可能的分配方案有（） A．18 种 B．24 种 C．36 种 D．54 种 5．密位制是度量角的一种方法．将周角等分为 6000 份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如： 478密位写成“ 4 78 ”，1周角等于 6000 密位，记作1周角 60 00  ．如果一个扇形的半径为 2 ，面积为 7 3  ，则其圆心角可以用密位制表示为（） A． 25 00 B． 35 00 C． 42 00 D． 70 00 6．“五一”期间，甲、乙、丙三个大学生外出旅游，已知一人去北京，一人去西安，一人去云南. 回来后，三人对去向作了如下陈述：甲：“我去了北京，乙去了西安.” 乙：“甲去了西安，丙去了北京.” 丙：“甲去了云南，乙去了北京.” 事实是甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半（关于去向的地点仅对一个）. 根据以上信息，可判断下面说法中正确的是（） A．甲去了西安 B．乙去了北京 C．丙去了西安 D．甲去了云南 7．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的右焦点为 F , 以 F 为圆心， OF 为半径的圆交双曲线C 的右支于 ,P Q 两点（O 为坐标原点）,若 OPQ 是等边三角形，则双曲线C 的离心率为（） A. 7 1 3  B. 3 C. 5 1 2  D. 2 8．已知定义在    ,0 0,   上的奇函数  f x 在  0，上单调递减，且满足  2 2f  ，则关于 x 的不等式   sinf x x x  的解集为（） A．   , 2 2,    B．   2,0 2,   C．   , 2 0,2   D．   2,0 0,2  二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分) 9．已知 0ab  且 1 1 a b  ，则下列不等式一定成立的有（） A． a b B． a b b a  C． 2a b b a   D． 2 2a ba b   10．已知函数 ( ) sin( ) ( 0)6f x x     在区间[0, ] 上恰能取到 2 次最大值，且最多有 4 个零点，则下列说法中正确的有（） A. ( )f x 在 (0, ) 上恰能取到 2 次最小值 B.  的取值范围为 8 25[ , )3 6 C. ( )f x 在 (0, )6  上一定有极值 D. ( )f x 在 (0, )3  上不单调 11．正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1=2AA ，点 P 在线段 1BC 上运动，点 Q 在线段 1AA 上运动，则下列说法中正确的有（） A．三棱锥 1A D PC 的体积为定值 B．线段 PQ 长度的最小值为 2 C．当 P 为 1BC 中点时，三棱锥 1P ABB 的外接球表面积为 2 D．平面 BPQ 截该正方体所得截面可能为三角形、四边形、五边形 12．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式 2cos2 2cos 1x x  ，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中正确的有（） A． 3cos3 4cos 3cosx x x  B．存在 1x  时，使得 34 3 1x x  C．给定正整数 n ，若 1,( 1,2, , )ix i n   ，且 3 1 0 n i i x   ，则 1 3 n i i nx   D ．设方程 38 6 1 0x x   的三个实数根为 1 2 3, ,x x x ，并且 1 2 3x x x  ，则 2 2 3 2 3 12( )x x x x   三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13． 612x x     展开式中常数项为___________（用数字作答）. 14．已知点 P 在抛物线 2 4y x 上，点Q 在圆 2 2( 5) 1x y   上，则 PQ 长度的最小值为 __________ 15．根据天文学有关知识，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于 58  时，能在扬州的夜空中看到它．下表列出了 10 颗恒星的“赤纬”数值：星名天狼星老人星南门二大角星织女一五车二参宿七南河三水委一参宿四赤纬－16.7° －52.7° －60.8° 19.2° 38.8° 46° －8.2° 5.2° －57.2° 7.4° 现有四名学生从这 10 颗恒星中各随机选择 1 颗进行观测，其中有 X 人能在扬州的夜空中看到观测目标，则 X 的数学期望为 16．对于有限数列 na ，定义集合   1 2 21| 1 10ki k iia a aS k s s i ik i              ，，其中 1 10k Z k  且，若 na n ，则  3S 的所有元素之和为四、解答题（本大题共 6 小题，计 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分）已知等差数列 na 和等比数列 nb 满足： 1 1 2a b  ，且 2 3 61, , 1 a a a 是等比数列  nb 的连续三项. （1）求数列 na ， nb 的通项公式；（2）设   2 1 21 log ( ) logn n n n nc a a b   ，求数列 nc 的前 10 项和 10T ． 18. （本小题满分 12 分）在 ABC 中，角 , ,A B C 所对边分别为 , ,a b c ，现有下列四个条件： ① 3a  ； ② 2b  ； ③ 2 cos cos cosc A a B b A  ； ④ 2 2 23( ) 2 3a c b ac    . （1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；（2）请从上述四个条件中选三个，使得 ABC 有解，并求 ABC 的面积. （注：如果选择多个组合作为条件分别解答，按第一个解答计分） 19．（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ， AD // BC ， 2, 3,AB AD AC   AC BD E , 2DM MP  ， PB //平面 MAC ．（1）证明： AC 平面 PAD ；（2）若 PB 与平面 ABCD 所成角为 45 ，求二面角 C PD A  的余弦值． 20. （本小题满分 12 分）已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的左、右焦点分别为 1F ， 2F ， M 为椭圆C 上一点，线段 1MF 与圆 2 2 1x y  相切于该线段的中点 N ，且 1 2MF F 的面积为 2 . （1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上是否存在三个点 , ,A B P，使得直线 AB 过椭圆C 的左焦点 1F ，且四边形 OAPB是平行四边形？若存在，求出直线 AB 的方程；若不存在，请说明理由. 21. （本小题满分 12 分）甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢 3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛. 按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为 2 3 ，乙校获胜的概率为 1 3 ，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为 1 3 ，乙校获胜的概率为 2 3 ，每局比赛结果相互独立. （1）求甲校以3:1获胜的概率；（2）记比赛结束时女生比赛的局数为 ，求 的概率分布. 22．（本小题满分 12 分）已知函数 ( ) lnf x x ax  . （1）若 ( )f x 存在极值，求实数 a 的取值范围；（2）当 1a  时，判断函数 ( ) ( ) 2sing x f x x  的零点个数，并证明你的结论. 扬州市 2021 届高三考前调研测试试题数学参考答案 2021.05 1.C 2.B 3.A 4.D 5.B 6.D 7.A 8.B 9． ACD 10. BD 11．AB 12. ACD 13.60 14.3 15. 3.6 16.121 17．解析：（1）设等差数列 na 的公差为 d ，等比数列 nb 的公比为 q 因为 2 3 61, , 1 a a a 是等比数列 nb 的连续三项所以 2 3 2 6( 1)( 1)  a a a ，即 2(2 2 ) (2 1)(2 5 1)     d d d ，解得 3d 或 1 d 因为 nb 是等比数列，其各项不能为零，所以 1 d 舍去，所以 3d ，所以  2 3 1 3 1    na n n ………3 分又 3 2 21   aq a ，所以 12 2 2n n nb    . …………6 分（2）∵    2 1 2 2 2 21 log ( ) log ( 1) log (3 1)(3 2) 1 [log (3 1) log (3 2)]n nn n n n nc b b a n n n n n n              ， ∴ nc 的前 10 项和      10 2 2 2 2 2 2(1 2 10) log 2 log 5 log 5 log 8 log 8 log 11T                  2 2 2 2log 26 log 29 log 29 log 32     2 2 10(1 10) log 2 log 32 592     . ……… ……10 分 18. 解析：（1）不能同时满足③④，理由如下：由条件③得 2sin cos sin cos sin cosC A A B B A  ，即 2sin cos sinC A C ，即 1cos 2A  ，因为  0,A  ，所以 3A  ； ……………2 分由条件④得 2 2 2 2 3 1 3cos 2 3 2 3 a c bB acac ac        ， ……………4 分因为 3 1 2cos cos3 2 3B      ，  0,B  ，而 cosy x 在 0, 单调递减，所以 2 3 B   . 于是 2 3 3A B       ，与 A B   矛盾.所以 ABC 不能同时满足③ ④. ……………6 分（2）满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④. 若选择组合①②③：由 sin sin a b A B  得 3 2 sin3 2 B  ，即sin 1B  ，因为  0,B  ，所以 2B  ， ………9 分 ABC 为直角三角形，所以 2 22 ( 3) 1c    ，所以 1 31 32 2ABCS     . ………12 分若选择组合①②④：由 2 2 2 2 cosb a c ac B   得 2 2 1c c  ，解得 2 1c   ， ……………9 分因为  0,B  ，所以 2 2 3 6sin 1 cos 1 3 3B B           ，所以 1 1 6 2 2sin 3 ( 2 1)2 2 3 2ABCS ac B        . ……………12 分 19． (1) 证明连接 ME， ∵PB//平面 MAC，PB  平面 PBD，平面 PBD 平面 MAC=ME， ∴PB//ME， 2DE DM AD BE PM BC    ，∴BC=1， ……………2 分而 AB=2， 3AC  ， 2 2 2AC BC AB   ，∴CA⊥BC，即 CA⊥AD，又 PA⊥平面 ABCD，CA  平面 ABCD，∴PA⊥CA，又 PAAD=A，PA 平面 PAD，AD  平面 PAD， ∴CA⊥平面 PAD． ……………5 分 (2) 因为 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45 ，所以 45PBA   ，即 2PA  方法 1：向量法如图，以 A 为原点，射线 AC，AD，AP 分别为 x，y，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，则 (0,0,0), ( 3,0,0), (0,2,0), (0,0,2),A C D P 所以 ( 3,0, 2), (0,2, 2),PC PD     设平面 PCD的法向量为 1 ( , , )n x y z ur ，则 1 1 0 3 2 0 020 2 n PC x z zn yPD                 ，即，所以平面 PCD的一个法向量为 1 (2, 3, 3)n  ，……………8 分又平面 PAD 的一个法向量为 2 (1,0,0)n  ， ……………10 分所以 1 2 1 2 1 2 2 10cos 5| | | | 10 n nn n n n           . 所以二面角C PD A  的余弦值为 10 5 ……………12 分方法 2：综合法提示，在 PAD 内作 AH PD 于 H ，则 CHA 即为所求角 20、解析：（Ⅰ）因为 1ON  ，又 ON 是三角形 1 2MF F 的中位线，所以 2 2MF  ， 1 2MF MF ，由椭圆的定义可知 1 2 2MF a  ，因为三角形 1 2MF F 的面积为 1 (2 2) 2 2 2 22S a a      ，所以 2a  ，又因为 2 2 1 2 1 2 2 2F F MF MF   ，所以 2c  ，则 2b  ，所以椭圆的方程为 2 2 14 2 x y  ……………4 分（2）存在 ①当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 的方程为 2x   ，此时椭圆上不存在符合题意的点 P ；……5 分 ②当直线 AB 的斜率存在且 0k  时，此时 , ,O A B 三点共线，所以椭圆上不存在符合题意的点 P ； ③当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设点  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，  0 0,P x y ，设直线 AB 的方程为  2y k x  . 联立 2 2 ( 2) 14 2 y k x x y      ，消去 y 可得 2 2 2 22 1 4 2 4 4 0k x k x k     ， 216 16 0k    ，所以 2 1 2 2 1 4 2 2 kx x k    ， 2 1 2 2 1 4 4 2 kx x k   ……………7 分所以  21 1 22 2 22 2 2 1y kk x x ky    因为四边形OAPB 是平行四边形，所以 OP OA OB     1 2 1 2,x x y y   2 2 2 4 2 2 2, 2 21 1 k k k k        . 所以点 2 2 2 4 2 2 2 2 121 ,k kP k k       . …………… 9 分又点 P 在椭圆上，则有 2 22 2 2 4 2 2 22 4 2 121 k k k k                 ，即 44 1k  ，解得 2 2k   . 所以椭圆上存在三个点 , ,A B P ，满足要求，此时直线 AB 的方程为 2 12y x   . ……………12 分 21. 解（1）设甲校以 3:1 获胜为事件 B ，4 局比赛中甲校胜出分别为  1,2,3 4iA i  ， …………1 分则    1 31 2 3 4 2 4 1 2 3 4P B P A A A A A A A AA A A A   2 1 2 2 1 1 2 1= 3 3 3 3 3 3 3 81 27 2 1 12 4C                                               答：甲校以 3:1 获胜的概率为 4 27 ……4 分（2） 的可能取值为 1、2、3   2 22 1 1 21 =3 3 3 3 9 2 6 27P                 ； ……6 分   2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 102 =3 3 3 3 3 3 3 3 27 2 1 1 1 2 2 2 30 3 3 3 3 3 3 81P C C                                                                     ……9 分   2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 13 3 3 3 1 3 2 1 2 1 3 3 3 3 33 3P C C                                                        3 1 1 2 3 2 2 22 1 2 1 1 1 11+ =3 3 3 3 3 3 3 3 27 2 2 2 99 3 243C C                                            所以，随机变量 的概率分布列为：  1 2 3 P 2 9 10 27 11 27 ……12 分 22．解析：（1）函数  f x 的定义域为 0,  ，   1 1 axf x ax x     ，当 0a  时，   0f x  ，故  f x 在 0,  上递增，所以  f x 无极值；当 0a  时，  f x 在 10, a      上单调递增；在当 1 ,a     上单调递减. 所以  f x 在 1x a  处取得极大值，无极小值. 综上所述，若  f x 存在极值，则 a 的取值范围为  0,  . ……………4 分 (2) ( ) ( ) 2sin ln 2sing x f x x x x x     ，下面分区间逐段研究 ①当  ,2x   时， sin 0x  ，由（1）知 1a  时   lnf x x x  ，此时    ln 1f x x x f   ，即 ln 1x x   ，所以   0g x  ，所以  g x 在 ,2  上没有零点． ……………6 分 ②当  2 ,x   时，   ln 2g x x x   设   ln 2x x x    ，   1 1 0x x     ，所以  x 在 2 ,  上单调递减，所以    2 0x    所以当  2 ,x   时，      2 0g x x     恒成立，所以  g x 在 2 ,  上没有零点．………8 分 ③当  0,x  时，   1 1 2cosg x xx     ，   2 12sin 0g x x x      ，所以  g x 在 0, 上单调递减，又因为 3 1 1 03g           ， 2 1 02g          ，所以  g x 在 ,3 2       上有唯一的零点  ．  g x 在 0, 上单调递增;  g x 在  ,  上单调递减; 所以  g x 在 0, 上存在唯一的极大值点 3 2        ，且   ln 2 2 02 2 2 2g g               又因为 2 2 2 2 1 1 1 12 2sin 2 2 0g e e e e              ，所以  g x 在 0, 上恰有一个零点．又因为   ln 2 0g         ，所以  g x 在 ,  上也恰有一个零点．综上得，  g x 有且仅有两个零点． ……………12 分查看更多

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