资料简介
2020 学年第二学期五校联考试题
高三年级数学学科
参考公式：
如果事件 A， B互斥，那么 P A B P A P B
如果事件 A， B相互独立，那么 P A B P A P B
如果事件 A在一次试验中发生的概率是 p，那么 n次独立重复试验中事件 A恰好发生 k次的概率
( ) C (1 ) ( 0,1, 2, , )k k n k
n nP k p p k n
台体的体积公式
1 1 2 2
1
3
V h S S S S
其中 1S ， 2S 分别表示台体的上、下底面积， h表示台体的高
柱体的体积公式
V Sh
其中 S 表示柱体的底面积， h表示柱体的高
锥体的体积公式
1
3
V Sh
其中 S 表示锥体的底面积， h表示锥体的高
球的表面积公式
24S R
球的体积公式
34
3
V R
其中 R表示球的半径
一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1.已知全集 {1,2,3,4,5}U ， {1,3}A ，则 U A ð （ ）
A.{1,2,3,4,5} B.{2,4,5} C.{1,3} D.
2.已知 aR ，复数 2 3 2 ( 1)iz a a a （ i为虚数单位）是纯虚数，则复数
1
2z
的虚部是（ ）
A.
1
3
B.
1
5
C.
1 i
3
D.
1 i
5
3.若实数 x， y满足约束条件
1
1
0
x y
x y
x
，则 2z x y 的最小值是（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
4.已知 a，bR ，则“ a b ”是“
12 2a b ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.函数
2 ln | |( ) xf x x
x
的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
已知实数 x， y满足
2 24 4x y ，则 xy的最小值是（ ）
A.-2 B. 3 C. 2 D.-1
7.已知不全相等的实数 a，b， c成等比数列，则一定不可能．．．是等差数列的为（ ）
A.a， c，b B. 2a ，
2b ，
2c C. | |a ， | |b ， | |c D.
1
a
，
1
b
，
1
c
8.甲、乙、丙、丁、戊 5个人分到A，B，C三个班，要求每班至少一人，则甲不在A班的分法种数有（ ）
A.160 B.112 C.100 D.86
9.已知三棱锥 A BCD 的所有棱长均为 2，E为 BD的中点，空间中的动点 P满足PA PE ，PC AB ，
则动点 P的轨迹长度为（ ）
A.
11
16
B.
3
8
C.
11
2
D. 3
10.已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0)x yC a b
a b
的左、右焦点分别为 1F 、 2F ， P 是双曲线C 上的一点，且
2 2
,0
2
a bQ
满足 1 6
F PQ
， 2 2
F PQ
，则双曲线C的离心率为（ ）
A.
10
2
B.
13
2
C.
2 10
5
D.
43
5
二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共 36分.
11.已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱的体积为______，表面积为______.
12.已知直线 :l y kx 与圆 2 2: ( 2) 1C x y ，若
1
3
k ，直线 l与圆相交于 A，B两点，则 AB ______，
若直线 l与圆相切，则实数 k ______.
13.已知
6 2 6
0 1 2 6( 1) ( 1) ( 1)x a a x a x a x ，则 2a ______， 1 2 6a a a ______.
14.某同学在上学路要经过两三个红绿灯十字路口，已知他在第一个十字路口遇到红灯的概率为
1
2
，若他在
第一个十字路口遇到红灯，则在第二个十字路口遇到红灯的概率为
1
3
；若他在第一个十字路口遇到绿灯，
则在第二个十字路口遇到红灯的概率为
2
3
.记他在上学路上遇到红灯的次数为，则 ( 0)P ______，的
数学期望为______.
15.已知函数 ( ) 3 sin cosf x x a x ， 0,
3
x
的最小值为 a，则实数a所有取值组成的集合为______.
16.设 a
，b
为单位向量，则 3a b a b
的最大值是
17.已知 0a ，设函数
2 (2 2 ) , (0 2)
( )
, ( 2)
x a x x a
f x
ax x a
，存在 0x 满足 0 0f f x x ，且
0 0f x x ，则 a的取值范围是______.
三、解答题：本大题共 5小题，共 74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（本题满分 14分）
设常数 Rk ，已知 ( ) cos 2 2 3 sin cosf x k x x x .
（Ⅰ）若 ( )f x 是奇函数，求 k的值及 ( )f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）设 1k ， ABC△ 中，内角 A，B，C的对边分别为a，b，b .若 ( ) 1f A ，且 ABC△ 的面积 S abc ，
求 ABC△ 周长的取值范围.
19.（本题满分 15分）
如图，四边形 ABCD中，满足 //AB CD， 90ABC ， 1AB ， 3BC ， 2CD ，将 BAC△ 沿 AC
翻折至 PAC△ ，使得 2PD .
（Ⅰ）求证：平面 PAC 平面 ACD；
（Ⅱ）求直线CD与平面 PAD所成角的正弦值.
20.（本题满分 15分）
已知数列 na ， nb 中， 1 1a ， 1 2b ，
1
1 2( 1)nn n na a b
，
1
1 ( 1)nn n nb a b
，
*Nn .
（Ⅰ）证明 ( 1)nn na b 是等比数列，并求 na 的通项公式；
（Ⅱ）设 2logn n nc a b ，求数列 nc 的前 2n项和 2nS .
21.（本题满分 15分）
如图，已知椭圆
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a b
a b
与抛物线
2
2 : 4C y x 共焦点 F ，且椭圆的离心率为
1
2
.
（Ⅰ）求椭圆 1C 的方程；
（Ⅱ）若点P在射线 4( 2)x y 上运动，点 A，B为椭圆 1C 上的两个动点，满足 //AB OP，且Q为 AB
的中点，连接 PF 交抛物线 2C 于G 、H两点，连接OQ交椭圆 1C 与M 、 N 两点，求四边形MGNH 面
积的取值范围.
22.（本题满分 15分）
已知
3 2( )
6
x ef x ae x bx cx ， ( , , R)a b c ，（ e为自然对数的底数， e 2.71828 …）.
（Ⅰ）当 0a 时，若函数 ( )f x 与直线 y ex 相切于点 (1, )e ，求b， c的值；
（Ⅱ）当
1a
e
时，若对任意的正实数b， ( )f x 有且只有一个极值点，求负实数 c的取值范围.
2020 学年第二学期五校联考参考答案
高三年级数学学科
一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分.
BBCAA DDCCD
二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共 36分.
11.1，5 5 12.
2 15
5
；
3
3
13.15，-1 14.
1
6
，1
15.{3}【填 3不扣分】 16.
8 3
3
17.
1 1
2
a
三、解答题：本大题共 5小题，共 74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.解析：
（Ⅰ）由题意知， (0) 0f k ，得 0k ，
下面对 0k 进行检验：
若 0k ，则， ( ) 2 3 sin cos 3 sin 2f x x x x
对任意 x R 都有 ( ) 3 sin( 2 ) 3 sin 2 ( )f x x x f x ，
( )f x 是奇函数， 0k .
又因 ( ) 3 sin 2f x x ，由 2 2 2
2 2
k x k ， k Z ，
得
4 4
k x k ， k Z
( )f x 的单调递增区间为 ,
4 4
k k
， k Z .
（Ⅱ）当 1k 时 ( ) cos 2 3 sin 2 2sin 2
6
f x x x x
，
( ) 2sin 2 1
6
f A A
；得
1sin 2
6 2
A
(0, )A ，
132 ,
6 6 6
A
，
3
A
由
1 sin
2
S abc bc A ，可知： 2 sina A ，
2 sinc C ， 2 sinb B .
ABC△ 的周长为
1 (sin sin sin )
2
a b c A B C
1 2 3 1 3 1 3sin sin sin cos sin
2 3 4 2 2 2 4
B B B B B
1 3 3 3 3 3sin cos sin
2 2 2 4 2 6 4
B B B
20,
3
B
，
5,
6 6 6
B
，
1sin ,1
6 2
B
ABC△ 的周长的取值范围为
3 3 3,
2 4
.
19.解析：
（Ⅰ）证明：过 B作 BO AC ，垂足为O，连 PO，DO，则 PO AC ，
作DE AC ，垂足为 E，则 3DE ，
1
2
OE ，
13
2
DO
所以
2 2 2PO DO PD ，即 PO OD
又 AC DO O ，所以 PO 平面 ACD，
又 PO 平面 PAC ，
所以平面 PAC 平面 ACD；
（Ⅱ）以O为坐标原点，OC， BO所在的直线为 x， y轴建立空间直角坐标系
则
1 ,0,0
2
A
，
3 ,0,0
2
C
，
1 , 3,0
2
D
，
30,0,
2
P
，
1, 3,0AD
，
1 3,0,
2 2
AP
设平面 PAD的法向量为 ( , , )n a b c
，则
1 3 0
2 2
3 0
AP n a c
AD n a b
取法向量 3, 1, 1n
， 1, 3,0CD
设直线CD与平面PAD所成角为，
则
15sin cos ,
5
CD n
.
法二、体积法
1 3 3 14
3 4 2 2P ACDV ，
1 1 15 151
3 2 2 12C PADV h h ，得
2 15
5
h
所以
2 15 1 15sin
5 2 5
h
CD
20.解析：（Ⅰ）
1
1 2( 1)nn n na a b
，
1
1 ( 1)nn n nb a b
，
1
1 1 2 3( 1)nn n n na b a b
1
1 1 ( 1) 2 ( 1)n n
n n n na b a b
，且 1 1 ( 1) 4a b
所以 ( 1)nn na b 是等比数列.
1 1 ( 1) 4a b ，
1( 1) 2n n
n na b ，即
12 ( 1)n n
n na b
又
1
1 2( 1)nn n na a b
，
1 1
1 2 ( 1)n n
na
，
又 1 1a ，故 2 ( 1)n n
na ， 2nnb .
（Ⅱ）因为 2 ( 1)n n
nc n n ，
记
2 3 2
2 1 2 2 2 3 2 2 2 n
nT n
则
2 3 4 2 1
22 1 2 2 2 3 2 2 2 n
nT n
两式相减，得
2 1
2 (2 1)2 2n
nT n .
所以
2 1
2 (2 1)2 2n
nS n n .
21：解：（Ⅰ）因为 2 4y x ，所以 1
2
pc ，又因为
1
2
c
a
，所以 2a ，
椭圆方程为
2 2
1
4 3
x y
.
（Ⅱ）设 (4, )( 2)P t t ，
4AB OP
tk k ，
由点差法可得
3
4OQ ABk k ，可得
3
OQk t
将直线
3:OQl y x
t
与椭圆
2 2
1
4 3
x y
联列，
2
2
2
4
12
tx
t
，
解得
2
2 22
9 4 91 4
1212
t tMN
t tt
将直线
3: 1PFl x y
t
与抛物线 2 4y x 联列，得
2 12 4 0y y
t
，
12
G Hy y
t
， 4G Hy y ，
2
2 2 2
4 99 144| | 1 16
t
GH
t t t
又因为 1OQ FPk k ，所以
32
2 2
8 91 | | | |
2 12
MGNH
t
S MN GH
t t
四边形
令
2 [4, )t m ，则
3
2
(9 )( )
( 12)
mf m
m m
，
2
4 2
3 ( 9) (5 72)( ) 0
( 12)
m m mf m
m m
所以 ( )f m 为单调递减，则
3
2
13( ) 1,
16
f m
，
所以四边形MGNH 面积的取值范围为
13 138,
2
.
22.解析：（Ⅰ）当 0a 时，
3 2( )
6
ef x x bx cx ，
2( ) 2
2
ef x x bx c ，
由题知 1f e 且 1f e ，所以
6
2
2
e b c e
e b c e
，解得
3
eb ，
5
6
ec
（Ⅱ）当
1a
e
时，
1 3 2( )
6
x ef x e x bx cx ，则
1 2( ) 2
2
x ef x e x bx c
令
1 2( ) 2
2
x eh x e x bx c ，则 1( ) 2xh x e ex b ，令 1( ) 2xt x e ex b ，
则
1( ) xt x e e ，
当 ( ,2)x 时 ( ) 0t x ， ( )t x 在 ( ,2) 上单调递减，
当 (2, )x 时 ( ) 0t x ， ( )t x 在 (2, ) 上单调递增，所以 min( ) (2) 2t x t b e .
（1）当
2
eb 时， ( ) ( ) 0t x h x 恒成立，所以 ( )f x 在R上单调递增，
故 ( ) 0f x 在 R上有唯一解，所以 ( )f x 有且只有一个极值点.
（2）当0
2
eb 时， (2) 2 0t b e ，所以 ( )t x 有两个零点 1x ， 2x ，
即方程
1 2 0xe ex b 有两根 1x ， 2x ，
又因为
1(0) 0t b
e
，所以 1 20 2x x ，
所以 ( )h x 在 1, x 上单调递增，在 1 2,x x 上单调递减，在 2 ,x 上单调递增，
所以要使 ( )h x 只有一个变号零点只需 1 0h x 或 2 0h x .
首先考虑：
1 11 12 2
1 1 1 1 1 12 1 0 2
2 2
x xe eh x e x bx c x e x c x ，
令
1 2( ) (1 )
2
x ep x x e x c ， 1( ) xp x x e e ，
即 ( )p x 在 (0,2)上单调递增，所以 ( ) (2)p x p ，
要使 1 0h x 恒成立，只需 (2) 0p 即可，即 c e .
其次考虑：
2 1 2
2 2 21
2
x eh x x e x c ，因为 ( )p x 在 (2, ) 上单调递减，
同理可得，所以要使得 2 0h x 恒成立不可能，即 c无解.
综上可知： c的取值范围为 c e .
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