天天资源网 / 高中数学 / 教学同步 / 人教A版 / 必修1 / 第二章 基本初等函数（1） / 2.2.2 对数函数及其性质 / 高一数学2.2.2对数函数及其性质重难点题型（举一反三）（原卷版）
资料简介
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2.2.2 对数函数及其性质重难点题型【举一反三系列】
【知识点 1 对数函数的定义】
1.对数函数的概念
一般地，把函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
2.两种特殊的对数函数
（1）常用对数函数：以 10 为底的对数函数 xy lg .
（2）自然对数函数：以无理数 e 为底的对数函数 xy ln .
【知识点 2 对数函数的图象与性质】
对数函数的图象与性质列表如下：
a＞1 0＜a＜1
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图象
性
质
定义域 (0，＋∞)
值域 R
过定点 过定点(1，0)，即 x＝1 时，y＝0
函数值的变化
当 0＜x＜1 时，y＜0；
当 x＞1 时，y＞0
当 0＜x＜1 时，y＞0；
当 x＞1 时，y＜0
单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数
温馨提示：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质.
【知识点 3 反函数】
在指数函数 )10( aaay x ， 中，x 是自变量，y 是 x 的函数，其定义域是 R，值域是（0，+ ）；
在对数函数 )1,0(log aayx a 中，y 是自变量，x 是 y 的函数，其定义域是 R，值域是（0，+ ），
像这样的两个函数叫作互为反函数.
【考点 1 对数函数的概念】
【例 1】（2019 秋•林芝县校级月考）下列函数是对数函数的是（ ）
A．y＝log3（x+1）
B．y＝loga（2x）（a＞0，且 a≠1）
C．y＝lnx
D．
【分析】根据对数函数的定义即可得出．
【答案】解：根据对数函数的定义可得：只有 y＝lnx 为对数函数．
故选：C．
【点睛】本题考查了对数函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【变式 1-1】给出下列函数：
①
y＝ x2；
②
y＝log3（x﹣1）；
③
y＝logx+1x；
④
y＝log
π
x．
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其中是对数函数的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】由对数函数的定义依次判断即可．
【答案】解：
①
y＝ x2 的真数为 x2，故不是对数函数；
②
y＝log3（x﹣1）的真数为 x﹣1，故不是对数函数；
③
y＝logx+1x 的底数为 x+1，故不是对数函数；
④
y＝log
π
x 是对数函数；
故选：A．
【点睛】本题考查了对数函数的定义的应用．
【变式 1-2】下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
①
y＝logx2；
②
y＝logax（a
∈
R）
③
y＝log8x；
④
y＝lnx
⑤
y＝logx（x+2）；
⑥
y＝2log4x
⑦
y＝log2（x+1）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】根据对数函数的定义，y＝logax（a＞0，且 a≠1），逐一分析给定函数是否为指数函数，可得
结论．
【答案】解：
①
y＝logx2 不是对数函数；
②
y＝logax（a
∈
R）不是对数函数；
③
y＝log8x 是对数函数；
④
y＝lnx 是对数函数；
⑤
y＝logx（x+2）不是对数函数；
⑥
y＝2log4x 不是对数函数；
⑦
y＝log2（x+1）不是对数函数；
综上所述，对数函数有 2 个，
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是对数函数的定义，熟练掌握对数函数的定义，是解答的关键．
【变式 1-3】下列函数中，是对数函数的个数为（ ）
①
y＝logax2（a＞0，且 a≠1）；
②
y＝log2x﹣1；
③
y＝2log8x；
④
y＝logxa（x＞0，且 x≠1）；
⑤
y＝log5x；
⑥
y＝logax（a＞0，a≠1）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据对数函数的定义进行判断即可．
【答案】解：
①
y＝logax2（a＞0，且 a≠1），真数不是变量 x，不是对数函数；
②
y＝log2x﹣1，不是对数函数；
③
y＝2log8x；系数不是 1，不是对数函数
④
y＝logxa（x＞0，且 x≠1），底数不是常数，不是对数函数；
⑤
y＝log5x，满足对数函数的定义，是对数函数；
⑥
y＝logax（a＞0，a≠1）满足对数函数的定义，是对数函数，
故是对数函数的有
⑤⑥
，共有 2 个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数概念的判断，根据对数函数的定义是解决本题的关键．
【考点 2 利用对数函数的性质比较大小】
【例 2】（2019 秋•福田区校级月考）设 ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【分析】根据对数的换底公式可得出 ，从而可得出 2＜log420
＜log315，且可得出 ，这样即可得出 a，b，c 的大小关系．
【答案】解： ， ， ，且 log54＞log53＞0，
∴ ，
∴2＝log416＜log420＜log315，
∴a＜c＜b．
故选：C．
【点睛】考查对数的换底公式，以及指数函数和对数函数的单调性，增函数的定义，不等式的性质．
【变式 2-1】（2019 秋•天山区校级月考）已知正实数 a，b，c 满足 loga2＝2，log3b＝ ，c6＝7，则 a，b，
c 的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
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【分析】根据条件可得出 ，从而得出 a6＝8，b6＝9 且 c6＝7，a，b，c 都是正数，这样即
可得出 a，b，c 的大小关系．
【答案】解：∵loga2＝2，log3b＝ ，c6＝7，
∴
∴a6＝8，b6＝9，c6＝7，且 a，b，c 都是正数，
∴c＜a＜b
故选：C．
【点睛】考查对数的定义，对数与指数的互化，以及指数的运算，幂函数的单调性．
【变式 2-2】（2019 秋•沙坪坝区校级月考）已知 a＝log30.3，b＝30.3，c＝0.30.2，则（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【分析】容易得出 ，从而可得出 a，b，c 的大小关系．
【答案】解：∵log30.3＜log31＝0，30.3＞30＝1，0＜0.30.2＜0.30＝1
∴a＜c＜b．
故选：B．
【点睛】考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数、减函数的定义．
【变式 2-3】（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中，成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】容易得出 ，从而可得出正确的选项．
【答案】解：∵log34＞log33＝1，0＜0.31.7＜0.30＝1，log0.310＜log0.31＝0，
∴ ．
故选：A．
【点睛】考查对数函数和指数函数的单调性，增函数和减函数的定义．
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【考点 3 与对数函数有关的函数图象识别】
【例 3】（2018 秋•合阳县期末）已知 a＞0，b＞0，且 ab＝1，a≠1，则函数 f（x）＝ax 与函数 g（x）＝﹣
logbx 在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据 a 与 b 的正负，利用指数函数与对数函数的性质判断即可确定出其图象．
【答案】解：∵a＞0，b＞0，且 ab＝1，a≠1，
∴函数 f（x）＝ax 与函数 g（x）＝﹣logbx 在同一坐标系中的图象可能是，
故选：B．
【点睛】此题考查了指数函数与对数函数的图象，熟练掌握指数、对数函数的图象与性质是解本题的关
键．
【变式 3-1】（2019•西湖区校级模拟）若当 x
∈
R 时，函数 f（x）＝a|x|始终满足 0＜|f（x）|≤1，则函数 y＝
loga| |的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
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【分析】由于当 x
∈
R 时，函数 f（x）＝a|x|始终满足 0＜|f（x）|≤1，利用指数函数的图象和性质可得 0
＜a＜1．先画出函数 y＝loga|x|的图象，此函数是偶函数，当 x＞0 时，即为 y＝logax，而函数 y＝loga| |
＝﹣loga|x|，即可得出图象．
【答案】解：∵当 x
∈
R 时，函数 f（x）＝a|x|始终满足 0＜|f（x）|≤1．
因此，必有 0＜a＜1．
先画出函数 y＝loga|x|的图象：红颜色的图象．
而函数 y＝loga| |＝﹣loga|x|，其图象如黑颜色的图象．
故选：B．
【变式 3-2】（2018 秋•船营区校级月考）函数 f（x）＝ 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出函数的定义域，再判断函数为奇函数，即图象关于原点对称，故可以排除 BC，再根据函
数值域，可排除 D．
【答案】解：∵f（x）＝ ，
∴函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
∵ ，
∴函数 f（x）为奇函数，图象关于原点对称，
故排除 B、C，
∵当 0＜x＜1 时，lnx＜0，
∴f（x）＝ ＜0，x
∈
（0，1）
故排除 D．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了绝对值函数以及函数的值域、奇偶性和单调性，属于基础题．
【变式 3-3】（2019 秋•洛南县期末）函数 y＝|lg（x+1）|的图象是（ ）
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A． B．
C． D．
【分析】本题研究一个对数型函数的图象特征，函数 y＝|lg（x+1）|的图象可由函数 y＝lg（x+1）的图象
将 X 轴下方的部分翻折到 X 轴上部而得到，故首先要研究清楚函数 y＝lg（x+1）的图象，由图象特征选
出正确选项
【答案】解：由于函数 y＝lg（x+1）的图象可由函数 y＝lgx 的图象左移一个单位而得到，函数 y＝lgx 的
图象与 X 轴的交点是（1，0），
故函数 y＝lg（x+1）的图象与 X 轴的交点是（0，0），即函数 y＝|lg（x+1）|的图象与 X 轴的公共点是（0，
0），
考察四个选项中的图象只有 A 选项符合题意
故选：A．
【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，解答本题关键是掌握住对数型函数的图象图象的变化 规律，
由这些规律得出函数 y＝|lg（x+1）|的图象的特征，再由这些特征判断出函数图象应该是四个选项中的那
一个
【考点 4 对数函数图象过定点问题】
【例 4】（2018 秋•赣州期中）函数 y＝loga（x﹣1）+loga（x+1）（a＞0 且 a≠1）的图象必过定点（ ）
A．（ ） B．（0，﹣ ） C．（ ） D．（ ）
【分析】根据对数函数的性质求出定点的坐标即可．
【答案】解：y＝loga（x﹣1）+loga（x+1）＝loga（x2﹣1），
令 x2﹣1＝1，解得：x＝± ，
而 x﹣1＞0，解得：x＞1，
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故 x＝ ，
故函数的图象过（ ，0），
故选：C．
【点睛】本题考查了对数函数的性质，考查特殊值问题，是一道基础题．
【变式 4-1】（2019 秋•水富县校级月考）已知函数 y＝3+loga（2x+3）（a＞0，a≠1）的图象必经过定点 P，
则 P 点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（﹣ ，4） C．（﹣1，3） D．（﹣1，4）
【分析】令 2x+3＝1，求得 x 的值，从而求得 P 点的坐标．
【答案】解：令 2x+3＝1，可得 x＝﹣1，此时 y＝3．
即函数 y＝3+loga（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点 P 的坐标为（﹣1，3）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
【变式 4-2】（2018 秋•烟台期中）函数 y＝loga（x+2）+ax+1+2（a＞0，且 a≠1）的图象必经过的点是（ ）
A．（0，2） B．（2，2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，3）
【分析】根据 loga1＝0，a0＝1，求出定点的坐标即可．
【答案】解：令 x+2＝1，解得：x＝﹣1，
故 y＝0+1+2＝3，
故图象过（﹣1，3），
故选：D．
【点睛】本题考查了对数函数，指数函数的性质，根据 loga1＝0，a0＝1 是解题的关键．
【变式 4-3】（2019 秋•赣州期末）已知 a＞0，a≠1，则 f（x）＝loga 的图象恒过点（ ）
A．（1，0） B．（﹣2，0） C．（﹣1，0） D．（1，4）
【分析】令 ＝1，解得 x＝﹣2，y＝0，进而得到 f（x）＝loga 的图象恒过点的坐标．
【答案】解：令 ＝1，
解得：x＝﹣2，
故 f（﹣2）＝loga1＝0 恒成立，
即 f（x）＝loga 的图象恒过点（﹣2，0），
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故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．
【考点 5 有关对数函数奇偶性问题】
【例 5】（2018•肇庆二模）已知 f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x），则 f（x）是（ ）
A．f（x）是奇函数，且在（0，10）是增函数
B．f（x）是偶函数，且在（0，10）是增函数
C．f（x）是奇函数，且在（0，10）是减函数
D．f（x）是偶函数，且在（0，10）是减函数
【分析】求出函数的定义域，根据函数奇偶性的定义以及复合函数的单调性判断即可．
【答案】解：由 得：x
∈
（﹣10，10），
故函数 f（x）的定义域为（﹣10，10），关于原点对称，
又由 f（﹣x）＝lg（10﹣x）+lg（10+x）＝f（x），
故函数 f（x）为偶函数，
而 f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x）＝lg（100﹣x2），
y＝100﹣x2 在（0，10）递减，y＝lgx 在（0，10）递增，
故函数 f（x）在（0，10）递减，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性问题，考查转化思想，是一道基础题．
【变式 5-1】（2019 秋•南充期末）已知函数 f（x）＝loga（x﹣m）的图象过点（4，0）和（7，1），则 f
（x）在定义域上是（ ）
A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数
【分析】把（4，0）和（7，1）代入 f（x）列出方程组解出 a，m，根据对数函数的性质判断．
【答案】解：∵f（x）的图象过点（4，0）和（7，1），∴ ，解得 ．
∴f（x）＝log4（x﹣3）．∴f（x）是增函数．
∵f（x）的定义域是（3，+∞），不关于原点对称．∴f（x）为非奇非偶函数．
故选：A．
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【点睛】本题考查了对数函数的性质，属于基础题．
【变式 5-2】（2019 秋•新宁县校级期中）对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数
C．f（x）是非奇非偶函数
D．f（x）既是奇函数又是偶函数
【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可．
【答案】解：由 ＞0，解得：﹣1＜x＜1，
故函数 f（x）的定义域是（﹣1，1），关于原点对称，
而 f（﹣x）＝log2 ＝﹣log2 ＝﹣f（x），
故 f（x）是奇函数，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性问题，是一道基础题．
【变式 5-3】（2016 春•石家庄校级月考）函数 f（x）＝ln（1+2x），g（x）＝ln（1﹣2x），则 f（x）+g（x）
为（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既不是奇函数又不是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
【分析】首先令 h（x）＝f（x）+g（x），求出 h（x）的定义域，而后用函数奇偶性定义求证．
【答案】解：令 h（x）＝f（x）+g（x）＝ln（2x+1）+ln（1﹣2x）
由 得：﹣ ＜x＜ ，
h（x）定义域为（﹣ ， ），
∴h（﹣x）＝ln（1﹣2x）+ln（1+2x）＝h（x），
所以，h（x）为偶函数．
故选：B．
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【点睛】本题主要考查了奇偶函数的定义域要求，以及函数奇偶性定义，属基础题．
【考点 6 与对数函数有关的定义域问题】
【例 6】（2018 秋•肇庆期末）函数 y＝ 的定义域为（ ）
A．（1，+∞） B．[1，+∞）
C．（1，2）∪（2，+∞） D．（1，2）∪[3，+∞）
【分析】根据分式的分母不为 0，对数的真数大于 0，建立关系式，解之即可．
【答案】解：要使函数 有意义
则 解得 x＞1 且 x≠2
∴函数 的定义域为（1，2）∪（2，+∞）
故选：C．
【点睛】本题考查函数定义域的求解，属基础题，做这类题目的关键是找对自变量的限制条件．
【变式 6-1】（2019•西湖区校级模拟）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由函数的解析式列出不等式进行求解即可．
【答案】解：由题意得， ，解得 x＞ ，
则函数的定义域是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的定义域的求法，属于基础题．
【变式 6-2】（2018 秋•宜宾期末）函数 y＝ 的定义域是（ ）
A．（ ，+∞） B．（ ，1] C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）
【分析】首先由根式有意义得到 log0.5（4x﹣3）≥0，然后求解对数不等式得到原函数的定义域．
【答案】解：要使原函数有意义，则 log0.5（4x﹣3）≥0，
即 0＜4x﹣3≤1，解得 ．
所以原函数的定义域为（ ]．
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故选：B．
【点睛】本题考查了对数函数定义域，训练了对数不等式的解法，是基础的计算题．
【变式 6-3】（2018 春•连城县校级月考）函数 y＝ 的定义域是（ ）
A．[1，+∞） B．（ ，+∞） C．（1，+∞） D．（ ，1]
【分析】利用对数的性质求解．
【答案】解：函数 y＝ 的定义域满足：
，解得 ．
故选：D．
【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，解题时要注意对数性质的灵活运用，是基础题．
【考点 7 与对数函数有关的值域问题】
【例 7】（2019 秋•南昌校级期中）函数 y＝log4（2x+3﹣x2）值域为 ．
【分析】运用复合函数的单调性分析函数最值，再通过配方求得值域．
【答案】解：设 u（x）＝2x+3﹣x2＝﹣（x﹣1）2+4，
当 x＝1 时，u（x）取得最大值 4，
∵函数 y＝log4x 为（0，+∞）上的增函数，
∴当 u（x）取得最大值时，原函数取得最大值，
即 ymax＝log4u（x）max＝log44＝1，
因此，函数 y＝log4（2x+3﹣x2）的值域为（﹣∞，1]，
故填：（﹣∞，1]．
【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，涉及对数函数的单调性，用到配方法和二次函数的性质，属
于基础题．
【变式 7-1】（2019 春•赣榆区校级月考）函数 的值域为 ．
【分析】先将原函数 y＝log0.5（x2+x+ ）转化为两个基本函数令 t＝x2+x+ ＝（x+ ）2+ ，y＝log0.5t
的，再用复合函数的单调性求解．
【答案】解：令 t＝x2+x+ ＝（x+ ）2+
∈
[ ，+∞]，
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∵函数 y＝log0.5t 的在定义域上是减函数，
∴y
∈
（﹣∞，2]；
故答案为（﹣∞，2]．
【点睛】本题主要考查用复合函数的单调性来求函数的值域，本题关键是求出二次函数的值域，属于基
础题．
【变式 7-2】（2019 秋•九原区校级期末）函数 y＝（ x）2﹣ x2+5 在 2≤x≤4 时的值域为 ．
【分析】利用换元法，令 t＝ 由 2≤x≤4 可得﹣1≤t≤﹣ ，由题意可得 y＝
＝（t﹣1）2+4，又因为函数在[﹣1，﹣ ]单调递减，从而可求函数的值域．
【答案】解：令 t＝ ，
因为 2≤x≤4，所以﹣1≤t≤﹣ ，
则 y＝ ＝（t﹣1）2+4，
又因为函数在[﹣1，﹣ ]单调递减，
当 t＝﹣ 是函数有最小值 ，当 t＝﹣1 时函数有最大值 8；
故答案为：{y| }
【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，换元法的应用，二次函数性质的应用及函数的单调性的应用，
属于基础知识的简单综合试题．
【变式 7-3】（2019 秋•松江区期末）函数 的值域为 ．
【分析】由函数的解析式可得，当 x＜1 时，f（x）＞ ；当 x≥1 时，f（x）≥0，综上可得 f（x）的值
域．
【答案】解：由于函数 ，
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故当 x＜1 时，f（x）＝ ＞ ．
当 x≥1 时，f（x）＝log2x≥log21＝0．
综上可得，f（x）≥0，故函数的值域为[0，+∞），
故答案为[0，+∞）．
【点睛】本题主要考查求函数的值域，指数函数、对数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思
想，属于中档题．
【考点 8 与对数函数有关的最值问题】
【例 8】（2019 秋•离石区校级月考）设 x≥0，y≥0 且 x+2y＝ ，则函数 u＝log0.5（8xy+4y2+1）的最大值
为 ．
【分析】由已知中 x≥0，y≥0 且 x+2y＝ ，可得 y
∈
[0， ]，8xy+4y2+1＝﹣12y2+8y+1，结合二次函数
的图象和性质及对数函数的图象和性质，可得答案．
【答案】解：∵x+2y＝ ，
∴x＝ ﹣2y，
由 x≥0，y≥0，可得 y
∈
[0， ]，
则 8xy+4y2+1＝﹣12y2+8y+1，
令 t＝﹣12y2+8y+1，
当 y
∈
[0， ]时，t
∈
[1， ]，
又由 u＝log0.5t 为减函数，
故当 t＝1 时函数 u＝log0.5（8xy+4y2+1）的最大值为 0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查的知识点是对数函数的值域和最值，其中熟练掌握对数函数的图象和性质是解答的关
键．
【变式 8-1】（2019 秋•田阳县校级月考）函数 f（x）＝loga（x+1）在[0，3]上的最大值与最小值的差为 2，
则 a 的值为 ．
【分析】对 a 分 a＞1 与 0＜a＜1 两类讨论，利用函数的单调性即可．
【答案】解：若 a＞1，f（x）＝loga（x+1）在[0，3]上单调递增，
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∴f（x）max＝loga4＝2loga2，
f（x）min＝loga1＝0，
∵f（x）max﹣f（x）min＝2，
∴2loga2﹣0＝2，
∴loga2＝1，故 a＝2；
若 0＜a＜1，f（x）＝loga（x+1）在[0，3]上单调递减，
同理可得 a＝ ．
故答案为：2 或 ．
【点睛】本题考查对数函数的单调性与最值，考查分类讨论思想，属于中档题．
【变式 8-2】（2019 春•天津期末）若函数 y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，则 a 的取值范围是 ．
【分析】先根据复合函数的单调性确定函数 g（x）＝x2﹣ax+1 的单调性，进而分 a＞1 和 0＜a＜1 两种
情况讨论：
①
当 a＞1 时，考虑对数函数的图象与性质得到 x2﹣ax+1 的函数值恒为正；
②
当 0＜a＜1 时，
△＝a2﹣4＜0 恒成立，x2﹣ax+1 没有最大值，从而不能使得函数 y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值．最后取
这两种情形的并集即可．
【答案】解：令 g（x）＝x2﹣ax+1（a＞0，且 a≠1），
①
当 a＞1 时，y＝logax 在 R+上单调递增，
∴要使 y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，必须 g（x）min＞0，
∴△＜0，
解得﹣2＜a＜2
∴1＜a＜2；
②
当 0＜a＜1 时，g（x）＝x2﹣ax+1 没有最大值，从而不能使得函数 y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，不
符合题意．
综上所述：1＜a＜2；
故答案为：1＜a＜2．
【点睛】本题考查对数函数的值域最值，着重考查复合函数的单调性，突出分类讨论与转化思想的考查，
是中档题．
【变式 8-3】（2019 秋•会宁县校级期中）已知函数 f（x）＝2+log3x，x
∈
[1，9]，函数 y＝[f（x）]2+f（x2）
的最大值为 ．
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【分析】根据 f（x）的定义域为[1，9]先求出 y＝[f（x）]2+f（x2）的定义域为[1，3]，然后利用二次函数
的最值再求函数 g（x）＝[f（x）]2+f（x2）＝（2+log3x）2+（2+log3x2）＝（log3x+3）2﹣3 的最大值．
【答案】解：由 f（x）的定义域为[1，9]可得 y＝[f（x）]2+f（x2）的定义域为[1，3]，
又 g（x）＝（2+log3x）2+（2+log3x2）＝（log3x+3）2﹣3，
∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1．
∴当 x＝3 时，g（x）有最大值 13．
故答案为：13
【点睛】根据 f（x）的定义域，先求出 g（x）的定义域是正确解题的关键步骤，属于易错题．
【考点 9 与对数函数的单调性有关的问题】
【例 9】（2019 春•吉林期末）已知函数 f（x）＝loga（x+3）﹣loga（3﹣x），a＞0 且 a≠1．
（1）求函数 f（x）的定义域；
（2）判断并证明函数 f（x）的奇偶性；
（3）若 a＞1，指出函数的单调性，并求函数 f（x）在区间[0，1]上的最大值．
【分析】（1）由题意可得 ，从而求定义域；
（2）可判断函数 f（x）是奇函数，再证明如下；
（3）当 a＞1 时，由复合函数的单调性及四则运算可得 f（x）为增函数，从而求最值．
【答案】解：（1）由题意知，
；
解得，﹣3＜x＜3；
故函数 f（x）的定义域为（﹣3，3）；
（2）函数 f（x）是奇函数，证明如下，
函数 f（x）的定义域（﹣3，3）关于原点对称；
则 f（﹣x）＝loga（﹣x+3）﹣loga（3+x）＝﹣f（x），
故函数 f（x）是奇函数．
（3）当 a＞1 时，由复合函数的单调性及四则运算可得，
f（x）＝loga（x+3）﹣loga（3﹣x）为增函数，
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则函数 f（x）在区间[0，1]上单调递增，
故 fmax（x）＝f（1）＝loga2．
【点睛】本题考查了函数的定义域，奇偶性，单调性，最值的判断与应用，属于基础题．
【变式 9-1】（2018 秋•南岗区校级期中）已知 f（x）＝loga （a＞0，且 a≠1，m≠﹣1）是定义在区
间（﹣1，1）上的奇函数，
（1）求 f（0）的值和实数 m 的值；
（2）判断函数 f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性，并说明理由；
（3）若 f（ ）＞0 且 f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0 成立，求实数 b 的取值范围．
【分析】（1）根据奇函数的特性，可得 f（0）＝0，再由 f（﹣x）＝﹣f（x），m≠﹣1，可得实数 m 的
值；
（2）结合对数函数的图象和性质，及复合函数同增异减的原则，可得函数 f（x）在区间（﹣1，1）上的
单调性；
（3）由 f（ ）＞0，可得函数 f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递增，结合函数的定义域和奇偶性，解
不等式，可得实数 b 的取值范围．
【答案】解：（1）∵f（x）＝loga （a＞0，且 a≠1，m≠﹣1）是定义在区间（﹣1，1）上的奇函
数，
∴f（0）＝0，
且 f（﹣x）＝﹣f（x），即 ＝﹣ ，
即 + ＝ ＝loga1＝0，
故 m2＝1，
又∵m≠﹣1，
故 m＝1，
（2）由（1）得 f（x）＝ ＝ ，
令 t＝ ，则 t 在区间（﹣1，1）上单调递减，
当 0＜a＜1 时，y＝logat 为减函数，此时函数 f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递增；
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当 a＞1 时，y＝logat 为增函数，此时函数 f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递减；
（3）若 f（ ）＝ ＞0，则 0＜a＜1，由（1）得，函数 f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递增，
若 f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0，
则 f（b﹣2）＞﹣f（2b﹣2），
则 f（b﹣2）＞f（2﹣2b），
则﹣1＜2﹣2b＜b﹣2＜1，
解得：b
∈
（ ， ）
【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，难度不大，属于基础题．
【变式 9-2】（2019 秋•番禺区校级期中）已知函数 ．
（1）求函数的定义域．
（2）讨论函数 f（x）的奇偶性．
（3）判断函数 f（x）的单调性，并用定义证明．
【分析】（1）解不等式 得出 x 的范围，从而得出函数 f（x）的定义域；
（2）将﹣x 代入函数 f（x）的解析式，利用对数的运算性质得到 f（﹣x）＝﹣f（x），从而得出答案；
（3）在区间（1，+∞）上任取 x1＞x2＞1，作差 f（x1）﹣f（x2），通过对数的运算性质以及对数函数的
单调性得出差值 f（x1）﹣f（x2）的符号，从而得出函数 f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，再利用同
样的方法可得出函数 f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性．
【答案】解：（1） ，
零和负数无对数， ，可得 x＜﹣1 或 x＞1，
则定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；
（2）函数 f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），关于原点对称，
＝ ，
因此，函数 f（x）为奇函数；
（3）函数 f（x）在区间（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上都是减函数，
下面利用定义来证明．
先利用定义证明函数 f（x）在区间（1，+∞）上的单调性．
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任取 x1＞x2＞1，则 ＝
＝ ，
∵x1＞x2＞1，则 x1x2+x2﹣x1﹣1＜x1x2+x1﹣x2﹣1，
此时， ga1＝0，即 f（x1）＜f（x2），
所以，函数 f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，
同理可证函数 f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上也为减函数．
【点睛】本题考察函数的定义域的求解，考察对数型函数的奇偶性与单调性的定义，关键在于利用定义
来判断函数的基本性质，以及熟悉定义法判断函数基本性质的基本步骤，属于中等题．
【变式 9-3】（2019 秋•荔湾区校级期末）已知函数 f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）．
（1）求函数 f（x）定义域，并判断 f（x）的奇偶性．
（2）判断函数 f（x）在定义域内的单调性，并用单调性定义证明你的结论．
（3）解关于 x 的不等式 f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0．
【分析】（1）根据对数函数的性质以及函数的定义域，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；
（2）根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可；
（3）根据函数的单调性以及函数的奇偶性判断即可．
【答案】解：（1）要使函数 f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）有意义，
必须满足 ，解得：﹣1＜x＜1，
∴函数 f（x）的定义域是（﹣1，1），
综上所述，结论是：函数 f（x）的定义域是（﹣1，1）．
f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）
＝log3（ ）．
f（﹣x）＝log3 ＝﹣log3 ．
∴f（x）为奇函数．
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（2）函数 f（x）＝log3（ ），
在区间（﹣1，1）上任取两个不同的自变量 x1，x2，
且设 x1＜x2，则 f（x1）﹣f（x2）＝log3 ，
又（1+x1）（1﹣x2）﹣（1﹣x1）（1+x2）＝2（x1﹣x2）＜0，
即（1+x1）（1﹣x2）＜（1﹣x1）（1+x2），
∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴1+x1＞0，1﹣x2＞0，
∵（1+x1）（1﹣x2）＞0，∴ ＜1，
∴log3 ＜0，即 f（x1）＞f（x2），
∴函数 f（x）是定义域内的单调递增函数．
（3）∵f（x）为奇函数，
∴f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0
∴f（1﹣x）＞f（x2﹣1），
又∵f（x）在定义域上单调递增，
∴1﹣x＞x2﹣1，
x2+x﹣2＜0，即（x+2）（x﹣1）＜0，
∴﹣2＜x＜1，
而 ，解得：0＜x＜ ，
综上：0＜x＜1．
【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．
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