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好资料惟荐§7向量应用举例7.1点到直线的距离公式7.2向量的应用举例［学习目标］1.了解直线法向量的概念.2,会用向量方法解决某些简单的平面几何问迤、力学问迤及一些实际问题.3,进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.预习导学兰挑战自我.点点落实［知识链接］1,向量可以解决哪些常见的几何问题？答（1）解决宜线平行、事宜、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系.⑵解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题.2.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？答（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距良，夹角等问题；⑶把运算结果“翻译”成几何关系.［预习导引］1.直线的法向量（1）直线*=直+力的方向向量为（1,4〕,法向量为伍.-1）.2.点到直线的距离公式#/16文案大全
好资料惟荐设点序（的，刃）为平面上任一定点，则点，到直线2+的+/7=0（用+6*0）的距离d=^1.向量方法在几何中的应用⑴证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的等价条件：a〃队b*0）a=A修+及一友也=0,⑵证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a,b,a_Lga・b=0。也7+畛=。.⑶求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos6==⑷求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：IH■4,向量方法在物理中的应用⑴力、速度、加速度、位移都是向量，⑵力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的乩遨运算，运动的叠加亦用到向量的合成.⑶动量小卜是•数乘向量,⑷功即是力尸与所产生位移s的数量积.产课堂讲义W直点难点,个个击破要点一直线法向量（或方向向量:）的应用例1已知△加公的三顶点40,-4）,8（4,0）,。（一6,2）,点以6尸分别为边BC、队4?的中点.#/16文案大全
好负料推荐⑴求直线由EF、)的方程；⑵求出边上的高线掰所在的直线方程.解(1)由已知得点0(—1,1),£(-3,-1］，尸(2,-2).设点机不「是直线施上任一点，则//r=(X+1,y—1),=(―2,—2),f—2)X(x+1)—2)(y—1)=0T即x—y+2=0为直线比'的方程.同理可求，直线优〃的方程分别为x+5y+8=0,x+尸0.⑵设点/5,M是纱所在的直线上任一点，则JL,-=0,=(x+6,y—2),=(4,4),.,.4J+6)+4。-2)=0,即大十尸F4=0为所求直线组所在的直线方程，规律方法对于解析几何中的有关直线平行与垂直问题，常常可以转而考虑与直线相关的向量的共线与垂直，这样一来将形的问题转化为相关数的问题，从而容易将问题解决.跟踪演练1求点为(一1,2)到直线/：2/+〃-10=0的距离.解方法一取直线/的一个法向量为"=(2,1),在直线/上任取一点。⑸口)，「・0=(-6.2),,•，点到直线/的距离"就是。在法向量/?上的射制，设o与"的夹角为?."=|cl|cos。|=|0|-===2.故点吊到直线/的距茗为2.#I16文案大全
好负料推荐方法二由点到直线的距离公式得d==要点二向量在平面几何中的应用例2如图，已知Rt△力8中，N/390°,UA=3,08=2,胡在监上，且酸三1,/在以上,且ZW=1,P为栩与物的交点P求/解W解设=凡=加且，的夹角为/则=仇=a,又=—=8—%=—=a-•・・=•=-5〉11=,I1=,.'.cos9==一,又'，'Mn],8=,又丁/圾V即为向量,的夹角，・・，/例匕#I16文案大全
好负料推荐规律方法(1)本题可以选择，作为基向量，这是两个互相垂直的向量，选用这组特殊的基向量可以简化运算.⑵本迤也可以建立平面直角坐标系进行求解.把平面几何中求角的问题转化为向量的夹角问题是平面向量的工具性体现之一，转化时一定要注意向量的方向.跟踪演练2已知△这中，,击4.43,求死的长，解以力为原点建立如图所示平面直角坐标系，则彳9,0),8(4cos6。°,4sin60°),C⑶0),=(3,0),—(2,2)r=~=(1,-2),.'.I1==荽点三利用向量解决物理中的问题例3在风速为75(-)km/h的西风中，飞机以150km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向.解设向量a表示风速，6表示无风时飞机的航行速度，。表示有风时飞机的航行速度，贝二升6如图，作向量=%=6,=c,则四边形如必为平行四边形.过a。分别作。的垂线，交段的延长线于"E点、.由已知，I1=75（-）,|1=150,/加=45：7f16文案大全
好负料推荐在中，OD=0dos冷°=75,375.又ED=BC=OA=75（一），.',OE=OD+ED=7B又在=妙=75在Rt2X。2中，08==150,sinZBQE~=,||=150,4B（^=3T故没有风时飞机的航速为150km/h,航向为西偏北3。°.规律方法用向量的有关知识所突物理中有关力与速度等问题的基本思路和方法如下；⑴认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系;⑵通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；⑶利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解；⑷利用这个结果，对原物理现象作出解释.跟踪演练3如图，在细绳0处用水平力石缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为打绳子所受到的拉力为6⑴求|石|,|石|随角8的变化而变化的情况;⑵当|万|W21Gl时,求角8的取值范围.解（1）如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得，|=,|5|=7f16文案大全
好负料推荐当3从0°趋向于90°时，出I,|方|都逐渐变大.由|石|W2|G|,得gos3》.又因为0"W£V90°,所以0°W8W60°.尸当堂检测金当堂训练.体给成功1.已知直线4;3x+p—2=0与直线小侬-y+1=0的夹角为45°,则实数m的值为.答案2或一解析设直线4,。的法向量为n,m,则=(3J),H2=Cw,—1),由迤意cos450———整理得2/—3/??-2=。，解得;^2或.2.已知41,2),8(-2.1),以期为直径的圆的方程是.答案/43y=0解析设尸(/y)为圆上任一点，则=(a-1,y-2),=3+2,y-1),由■=由-1)(*+2)+(y—2)(y—1)=0,化简得/十/十/一3y=03.正方形明力的边长为1,点久f分别为428。的中点，试求gos/a好的值.7f16文案大全
好负料推荐解以心，比所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知:故cos4DOE=即gqs/a衽的值为.1.一艘船从南岸出发，向北岸横渡，根据测量，这一天水流速度为3km/h,方向正东，风的方向为北偏西3。0,受风力影响，静水中船的潦行速度为3km/h,若要使该阳由南向北沿垂直于河岸的方向以2km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.解如图，设水的速度为k7f16文案大全好负料推荐风的速度为唳，斗+嗓=a易求得日的方向是北偏东30°,e的大小是3km/h.设船的实际航行速度为，11I16文案大全
好负料推荐方向由南向北，大小为2km/h,.船本身的速度为⑸则^4V3=V,即内=3—4数形结合知外的方向是北偏西60°,大小是3km/h一课堂小结一1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距度等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标,这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证叨.2.用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步；（1）问题的转化，把物理问题转化成数学问超；⑵模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；（3）参数的获取，求出数学模型的相关解；（4）得到答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.分层训练上解♦纠偏,训练检涌一、基阳达标1.已知儿B,C,。四点坐标分别是（1,0）,⑷3）,（2,4）,92）,则此四边形为（）A.梯形B.菱形0.矩形D.正方形答案A解析•「=（3,3）,=（2,2）,「，〃，||才||,,.，四边形为梯形.2.当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为8,两人用力都为|，|,若|尸|=|6|,则S的值为11I16文案大全
好负料推荐（）A.30。B.6000.90。D.120°答案D解析作=F,=F”=一6,贝IJ=+,当|分|=|E|=|G|时，△QAC为正三角形，，乙40c=60°,从而45缈=12。。.3.平面上有四个互异点儿&C、0,已知（+—2）•（一）=0,则△/心。的形状是（）A.直角三角形B,等腰三角形C,等腰直角三角形D,无法确定答案B解析由（+—2）•（一）=0,得K-）+（-）］-（-）=0,所以（十）•（一）=0所以IP-I|2=0,1=1I,4.已知直线A的方向向量为a=(1.3),直线力的方向向量为方=(-1,玲，若直线/2过点95),且/|JL/2,则直线/2的方程是()A.4+3〃一5=0B.a+3/-15=0C.a—3y+5=0D.a—3y+15=0答案B解析'：八h,：.a-2>=-1+3A=Ot11I16文案大全
好负料推荐：.k=,4的方程为"=—x+5,即x+3y—15=0.故选B.3.过点双一2,1)且平行于向量a=(3,1)的直线方程为.答案x—3y+5=0解析设。J,S是所求直线上的任一点，=(才+2,y—1).//a：.U+2)X1-3(y-1)=0.即所求直线方程为彳-3p+5=0,4.已知点皿一1,2),8(0,-2),若点0在线段4?上，且2||=3|贝4点。的坐标为.答案解析由题意得=+=+=(-1,2)+(1,-4)=，所以〃5.如图，点。是口力仇第的对角线47,儆的交点，E,尸分别在边6。加上，且求证：点E0,尸在同一直线上，证明设=氏=b,由E尸分别为对应边的三等分点，得11I16文案大全
好负料推荐=+=一升=—a+（a+A）=a\b,=+=+=-a=a+b.所以=.又因为,为其公共点，所以点ea尸在同一直线上，二、能力提升3.已知直线4；（m+2）K+3&r+l=0与宜线4；（m一2）x+（加+2）y—3=口相互垂直，则实数m的值是（〕A.-2B.C.-2或D.一或211I16文案大全
好负料推荐答案c解析(仙2)O-2)+3m("2)=(肝2)(4丁2)=0.「.k—z或.9.在四边形/胸中，=(1,2),=(—4,2),则四边形的面积为()A.B.2C.5D.10答案C解因为在四边形485中r=(1.2)y=(-42),•=0,所以四边形段3的对角线互相垂直，又I1==，I1==2,该四边形的面积：I|・||=XX2=5.10.已知曲线C：A=一，直线/：A=6.若对于点水血。)，存在。上的点一和/上的点。使得+=0,则m的取值范围为.答案[2,3]解析由+=0知/是々的中点，该Kx,6,则。(2k*,-y),由题意一2WkWO,2k/=6,解得2WW3.11.如图所示，已知力「与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50N,一个质量为8kg的木块受力厂的作用在动摩擦因数〃=0.02的水平平面上运动了20m.问力厂和摩擦力F所做的功分别为多少？(g=IOm/'J)
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好负料推荐好资料惟荐#I16文案大全好负料推荐#I16文案大全好负料推荐解设木块的位移为S,则W=F-s=\F\♦|s|cos300=50X20X=500(J).尸在竖直方向上的分力的大小为|石|=|户|•sin3。°=50X=25[NJ.则f=〃(呢一|万I)=0.02X(8X10-25)=1.1(N).所以f'6=|d'Idcos1800=1.1X20X(-1)=-22(J).即尸与尸所做的功分别是500J与-22J.12.在△/花中，AB=AC,0为四的中点，E为①的重心，尸为△/8C的外心,证明；EFrCD证明建立如图所示的平面直角坐标系.#I16文案大全好负料推荐#I16文案大全好负料推荐设小口，幼,o),cg,(),则。(一,),=(一刁，),易知△/7/•的外心尸在y轴上，可设为(0,y).由I1=1I,得加一力2=£+产，所以y=,即尸9,).#I16文案大全
好负料推荐由重心坐标公式，得8,）,所以=（一,一）.所以=(-MX(一)十X(-)=0,#I16文案大全好负料推荐#I16文案大全好负料推荐所以±，即序JLCD.三、探究与创新12.如图，在口/驼〃中，点6尸分别是/口外边的中点，BE、梦分别与留交于R、r两点.求证：AR=RT=W.#I16文案大全好负料推荐#I16文案大全好负料推荐证明设=%=b,=r,则=a+b由于//,所以设r=n[a-\-b),/?eR又=-=3-b,〃,故设=/n=rn,「=+,r=所以"0+6]=b+m,#I16文案大全好负料推荐#I16文案大全好负料推荐即S—加^+6=0#I16文案大全
好负料推荐由于a与6不共线，故必有解得/77=fJ=7.,•=,同理=,于是=：.AR=RT=TC17/16文案大全
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